Fornire ulteriori conoscenze e strumenti di Analisi Matematica, indispensabili per una adeguata comprensione dei metodi e dei modelli matematici che interessano l'Ingegneria. In particolare integrali di funzioni di più variabili ed equazioni e sistemi di equazioni differenziali. La formazione viene integrata con elementi di probabilità e statistica.
scheda docente materiale didattico
Generalità sulle ED. Ordine. ED risolubili per integrazione diretta o con integrazioni successive. Condizioni iniziali e problema di Cauchy. ED a variabili separabili. ED lineari del primo ordine, omogenee e non omogenee. ED lineari di ordine qualsiasi: spazio delle soluzioni di un'ED omogenea e integrale generale di un'ED non omogenea. ED a coefficienti costanti. Metodi per la soluzione particolare di un'ED non omogenea: metodo dei coefficienti indeterminati, matrice wronskiana e metodo della variazione delle costanti. Equazione di Eulero. ED risolubili tramite abbassamento d'ordine.
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Insiemi aperti e chiusi in ℝ^n. Cenni su limiti e continuità di funzioni di più variabili. Domini di funzioni di più variabili. Derivate parziali. Derivate parziali di ordine superiore. Punti stazionari. Metodo del determinante hessiano per la determinazione della natura dei punti stazionari. Esempi di ricerca degli estremi assoluti per una funzione di due variabili in un compatto del piano.
RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA
Riferimenti cartesiani nel piano e nello spazio. Rette nel piano. Fasci di rette. Piani nello spazio. Rette nello spazio. Parametri direttori. Curve nel piano: equazioni cartesiane e parametriche. Principali caratteristiche delle coniche. Coniche degeneri. Parametrizzazione delle coniche. Superfici nello spazio: equazioni cartesiane e parametriche. Superfici di rotazione. Curve nello spazio. Principali caratteristiche delle quadriche, con particolare riferimento alle quadriche in forma canonica. Parametrizzazione delle quadriche.
INTEGRALI DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Cenni sulla misura di un insieme limitato di ℝ^n. Integrale di una funzione continua su un compatto di ℝn. Proprietà dell'integrale. Domini normali nel piano. Formula di riduzione per gli integrali doppi. Domini normali nello spazio. Formula di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamenti di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari e generalizzazioni, coordinate sferiche e generalizzazioni. Applicazioni geometriche e fisiche: calcolo di volumi, baricentri, momenti d'inerzia.
Curve regolari. Lunghezza di un arco di curva. Integrali curvilinei di funzioni scalari e di campi vettoriali. Significato fisico dell'integrale curvilineo. Campi conservativi e potenziale. Condizioni per la conservatività. Domini regolari nel piano. Teorema di Green nel piano. Domini semplicemente connessi. Studio della conservatività di un campo vettoriale in due variabili in un insieme del piano.
Superfici regolari. Area di una superficie. Integrale superficiale di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes ed applicazioni. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema di Green nello spazio ed applicazioni.
SERIE DI FOURIER
Richiami sulla funzione esponenziale nel campo complesso. Espressione delle funzioni seno e coseno come combinazioni di esponenziali complessi. Famiglie di funzioni ortogonali. Espressione di una funzione come serie di funzioni ortogonali. Serie di Fourier di una funzione periodica di periodo qualsiasi, come serie di funzioni goniometriche o come serie bilatera di esponenziali complessi. Teorema di convergenza puntuale per le serie di Fourier.
Dispense distribuite in rete dal docente.
Programma
EQUAZIONI DIFFERENZIALIGeneralità sulle ED. Ordine. ED risolubili per integrazione diretta o con integrazioni successive. Condizioni iniziali e problema di Cauchy. ED a variabili separabili. ED lineari del primo ordine, omogenee e non omogenee. ED lineari di ordine qualsiasi: spazio delle soluzioni di un'ED omogenea e integrale generale di un'ED non omogenea. ED a coefficienti costanti. Metodi per la soluzione particolare di un'ED non omogenea: metodo dei coefficienti indeterminati, matrice wronskiana e metodo della variazione delle costanti. Equazione di Eulero. ED risolubili tramite abbassamento d'ordine.
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Insiemi aperti e chiusi in ℝ^n. Cenni su limiti e continuità di funzioni di più variabili. Domini di funzioni di più variabili. Derivate parziali. Derivate parziali di ordine superiore. Punti stazionari. Metodo del determinante hessiano per la determinazione della natura dei punti stazionari. Esempi di ricerca degli estremi assoluti per una funzione di due variabili in un compatto del piano.
RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA
Riferimenti cartesiani nel piano e nello spazio. Rette nel piano. Fasci di rette. Piani nello spazio. Rette nello spazio. Parametri direttori. Curve nel piano: equazioni cartesiane e parametriche. Principali caratteristiche delle coniche. Coniche degeneri. Parametrizzazione delle coniche. Superfici nello spazio: equazioni cartesiane e parametriche. Superfici di rotazione. Curve nello spazio. Principali caratteristiche delle quadriche, con particolare riferimento alle quadriche in forma canonica. Parametrizzazione delle quadriche.
INTEGRALI DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Cenni sulla misura di un insieme limitato di ℝ^n. Integrale di una funzione continua su un compatto di ℝn. Proprietà dell'integrale. Domini normali nel piano. Formula di riduzione per gli integrali doppi. Domini normali nello spazio. Formula di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamenti di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari e generalizzazioni, coordinate sferiche e generalizzazioni. Applicazioni geometriche e fisiche: calcolo di volumi, baricentri, momenti d'inerzia.
Curve regolari. Lunghezza di un arco di curva. Integrali curvilinei di funzioni scalari e di campi vettoriali. Significato fisico dell'integrale curvilineo. Campi conservativi e potenziale. Condizioni per la conservatività. Domini regolari nel piano. Teorema di Green nel piano. Domini semplicemente connessi. Studio della conservatività di un campo vettoriale in due variabili in un insieme del piano.
Superfici regolari. Area di una superficie. Integrale superficiale di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes ed applicazioni. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema di Green nello spazio ed applicazioni.
SERIE DI FOURIER
Richiami sulla funzione esponenziale nel campo complesso. Espressione delle funzioni seno e coseno come combinazioni di esponenziali complessi. Famiglie di funzioni ortogonali. Espressione di una funzione come serie di funzioni ortogonali. Serie di Fourier di una funzione periodica di periodo qualsiasi, come serie di funzioni goniometriche o come serie bilatera di esponenziali complessi. Teorema di convergenza puntuale per le serie di Fourier.
Testi Adottati
B. Palumbo: Integrali di funzioni di più variabili (II edizione). Accademica, Roma, 2009.Dispense distribuite in rete dal docente.
Bibliografia Di Riferimento
T.M. Apostol: Calcolo, Vol. III. Ed. Bollati Boringhieri (Torino, 1978)Modalità Erogazione
Quattro ore di lezione frontale a settimana, comprendenti anche esercitazioni.Modalità Valutazione
Prova scritta sugli argomenti del corso (ricerca di massimo e minimo di una funzione di più variabili in un compatto, risoluzione di un'equazione differenziale o di un problema di Cauchy, calcolo di integrali di funzioni di più variabili e relative applicazioni).