Fornire la conoscenza di argomenti di algebra lineare, geometria e matematica discreta utili non solo per studi più approfonditi di matematica, ma anche per le applicazioni in altre discipline. I vari argomenti saranno affrontati con un approccio di tipo concreto, passando dalla trattazione di problemi particolari al caso generale e sollecitando la partecipazione attiva degli studenti per far loro acquisire più facilmente i concetti.
Curriculum
Canali
scheda docente materiale didattico
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf
Programma
1. Equazioni lineari e numeriSistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
Testi Adottati
G. Accascina e V. Monti, Geometria** Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf
Bibliografia Di Riferimento
Informazione disponibile sulla pagina moodle del corsoModalità Erogazione
Lezioni di didattica frontale. Esercitazioni in aula.Modalità Frequenza
Frequenza consigliata ma non obbligatoria.Modalità Valutazione
La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una prova scritta della durata di alcune ore, e una prova orale facoltativa o su richiesta del docente. Lo scritto è organizzato attraverso degli esercizi e delle domande teoriche, finalizzati a verificare il livello di comprensione effettiva dei contenuti del corso. Alcuni esercizi di esame (e delle prove in itinere) degli anni precedenti sono disponibili sulla pagina moodle del corso, compreso lo svolgimento di tali esercizi. Sono previste prove di autovalutazione in itinere ed esercitazioni in aula. “nel periodo di emergenza COVID-19 l’esame di profitto sarà svolto secondo quanto previsto all’art.1 del Decreto Rettorale n°. 703 del 5 maggio 2020” scheda docente materiale didattico
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
Applicazioni del metodo di Gauss. Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
10. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio
11. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
12. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
13. Dipendenza e indipendenza lineare
14. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
15. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
16. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
17. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
18. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
19. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
20. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
21. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
22. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
"Geometria"
Programma
1. Equazioni lineari e numeriSistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
Applicazioni del metodo di Gauss. Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
10. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio
11. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
12. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
13. Dipendenza e indipendenza lineare
14. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
15. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
16. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
17. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
18. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
19. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
20. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
21. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
22. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
Testi Adottati
G. Accascina e V. Monti,"Geometria"
Modalità Erogazione
Lezioni ed esercitazioni in aulaModalità Frequenza
E' consigliata la frequenza.Modalità Valutazione
Nel periodo di emergenza COVID-19 l’esame di profitto sarà svolto secondo quanto previsto all’art.1 del Decreto Rettorale n°. 703 del 5 maggio 2020Canali
scheda docente materiale didattico
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf
Mutuazione: 20810098-2 GEOMETRIA E COMBINATORIA II MODULO in Ingegneria informatica L-8 CANALE 1 D'ARIANO ANDREA
Programma
1. Equazioni lineari e numeriSistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
Testi Adottati
G. Accascina e V. Monti, Geometria** Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf
Modalità Erogazione
Lezioni di didattica frontale. Esercitazioni in aula.Modalità Frequenza
Frequenza consigliata ma non obbligatoria.Modalità Valutazione
La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una prova scritta della durata di alcune ore, e una prova orale facoltativa o su richiesta del docente. Lo scritto è organizzato attraverso degli esercizi e delle domande teoriche, finalizzati a verificare il livello di comprensione effettiva dei contenuti del corso. Alcuni esercizi di esame (e delle prove in itinere) degli anni precedenti sono disponibili sulla pagina moodle del corso, compreso lo svolgimento di tali esercizi. Sono previste prove di autovalutazione in itinere ed esercitazioni in aula. “nel periodo di emergenza COVID-19 l’esame di profitto sarà svolto secondo quanto previsto all’art.1 del Decreto Rettorale n°. 703 del 5 maggio 2020” scheda docente materiale didattico
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
Applicazioni del metodo di Gauss. Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
10. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio
11. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
12. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
13. Dipendenza e indipendenza lineare
14. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
15. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
16. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
17. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
18. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
19. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
20. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
21. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
22. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
"Geometria"
Mutuazione: 20810098-2 GEOMETRIA E COMBINATORIA II MODULO in Ingegneria informatica L-8 CANALE 2 SAMA' MARCELLA
Programma
1. Equazioni lineari e numeriSistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
Applicazioni del metodo di Gauss. Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
10. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio
11. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
12. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
13. Dipendenza e indipendenza lineare
14. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
15. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
16. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
17. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
18. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
19. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
20. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
21. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
22. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
Testi Adottati
G. Accascina e V. Monti,"Geometria"
Modalità Erogazione
Lezioni ed esercitazioni in aulaModalità Frequenza
E' consigliata la frequenza.Modalità Valutazione
Nel periodo di emergenza COVID-19 l’esame di profitto sarà svolto secondo quanto previsto all’art.1 del Decreto Rettorale n°. 703 del 5 maggio 2020