Conoscere la matematica della scuola dell’infanzia e primaria, contestualizzandola nella matematica come scienza moderna e nella sua evoluzione storica; essere consapevoli del valore, della necessità e della natura del ragionamento matematico e del suo simbolismo.
In termini di conoscenza e capacità di comprensione:
- conoscere la matematica elementare della scuola dell’infanzia e della scuola primaria, avvalendosi di elementi disciplinari, epistemologici e storici, riflettendo sui concetti matematici primordiali e basilari, sulla natura del ragionamento matematico e le sue tecniche argomentative, sull'estensione del campo teorico della matematica e sul simbolismo matematico;
- integrare la matematica nel campo della cultura, come porta del pensiero scientifico nella sua matrice filosofica e nei suoi collegamenti con le tecniche e le arti.
In termini di capacità di applicare conoscenza e comprensione:
- promuovere la capacità di considerare da un punto di vista superiore l'alfabetizzazione matematica e scientifica nella scuola dell'obbligo.
In termini di autonomia di giudizio:
- incoraggiare l'apertura al rinnovamento delle pratiche didattiche tramite l'accostamento alla ricerca storica, epistemologica e didattica sui concetti basilari della matematica.
In termini di abilità comunicative:
- sviluppare una visione superiore sul linguaggio matematico, sul simbolismo, sulla rappresentazione, sulla struttura di rete dei concetti matematici e sull'avvicinamento alla realtà ponendo e risolvendo problemi.
In termini capacità di apprendimento:
- promuovere capacità e interesse per lo studio assiduo e l'aggiornamento infaticabile nell'ambito della matematica elementare, della storia e della epistemologia della matematica, attraverso libri e articoli, conferenze, corsi e convegni, con discernimento e profondità.
In termini di conoscenza e capacità di comprensione:
- conoscere la matematica elementare della scuola dell’infanzia e della scuola primaria, avvalendosi di elementi disciplinari, epistemologici e storici, riflettendo sui concetti matematici primordiali e basilari, sulla natura del ragionamento matematico e le sue tecniche argomentative, sull'estensione del campo teorico della matematica e sul simbolismo matematico;
- integrare la matematica nel campo della cultura, come porta del pensiero scientifico nella sua matrice filosofica e nei suoi collegamenti con le tecniche e le arti.
In termini di capacità di applicare conoscenza e comprensione:
- promuovere la capacità di considerare da un punto di vista superiore l'alfabetizzazione matematica e scientifica nella scuola dell'obbligo.
In termini di autonomia di giudizio:
- incoraggiare l'apertura al rinnovamento delle pratiche didattiche tramite l'accostamento alla ricerca storica, epistemologica e didattica sui concetti basilari della matematica.
In termini di abilità comunicative:
- sviluppare una visione superiore sul linguaggio matematico, sul simbolismo, sulla rappresentazione, sulla struttura di rete dei concetti matematici e sull'avvicinamento alla realtà ponendo e risolvendo problemi.
In termini capacità di apprendimento:
- promuovere capacità e interesse per lo studio assiduo e l'aggiornamento infaticabile nell'ambito della matematica elementare, della storia e della epistemologia della matematica, attraverso libri e articoli, conferenze, corsi e convegni, con discernimento e profondità.
Canali
scheda docente materiale didattico
I NUMERI
1. La nascita del concetto di numero e l'esperienza del contare come corrispondenza biunivoca.
2. Come si scrivono i numeri: La numerazione nella preistoria,. La numerazione nelle popolazioni antiche: sumeri, babilonesi, egizi, greci, romani.
3. Il sistema posizionale in base qualsiasi e l'abaco. Il teorema di rappresentazione dei numeri naturali.
4. L'infinito dei numeri naturali: l'intuizione del principio di induzione, esempi: i numeri triangolari, i numeri quadrati e somma dei primi n numeri dispari, suddivisione del piano in regioni mediante rette, angoli interni di un poligono convesso, altri esempi.
5. I numeri naturali oggi: gli assiomi di Peano.
6. Dal contare come corrispondenza biunivoca agli insiemi a cardinalità infinito-numerabile: cardinalità dell'insieme dei numeri pari, dei dispari e di altri sottoinsiemi dei numeri naturali.
7. Cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi finiti e procedimento diagonale per NxN.
8. Le operazioni di somma e prodotto sui naturali, e le loro proprietà.
9. Calcoli di somme e prodotti in basi diverse.
10. Il confronto di numeri naturali: l'ordinamento. Il principio del buon ordinamento come equivalente del principio di induzione.
11. Generalizziamo: la relazione di ordine su insiemi qualsiasi.
12. Un altro modo di confrontare i numeri: la divisibilità come relazione di ordine.
13. Invertire l'operazione di somma: il gruppo additivo dei numeri interi.
14. Cardinalità degli interi.
15. Ordinamento dei numeri interi.
16. La divisione euclidea: teorema di esistenza e unicità, con dimostrazione. Il teorema di rappresentazione dei numeri è conseguenza dell'esistenza della divisione.
17. Il Massimo Comun Divisore e l'algoritmo di Euclide. Identità di Bezout
18. Criteri di divisibilità tra numeri naturali.
19. Numeri primi. Un numero naturale è primo se e solo se quando divide un prodotto allora divide uno dei fattori.
20. Teorema: i numeri primi sono infiniti (con dimostrazione di Euclide, libro IX degli Elementi).
21. Il crivello di Eratostene di Cirene (III a.C.) per la ricerca dei numeri primi inferiori a un numero dato.
22. I numeri primi come atomi costituenti i numeri: il teorema fondamentale dell'aritmetica (ovvero teorema di fattorizzazione unica).
23. L'orologio e le congruenze di numeri interi: operazioni somma e prodotto in Zn e Zp.
24. Rapporti e proporzioni: le frazioni. Classi di equivalenza di frazioni.
25. Le frazioni come numeri: dal problema dell'invertibilità del prodotto alla struttura dell'insieme Q dei numeri razionali.
26. Somma e prodotto in Q.
27. La rappresentazione in base 10 e in base 3, espressioni decimali periodiche.
28. Passaggio da rappresentazione frazionaria a rappresentazione decimale e vice versa: motivazione all'algoritmo (la serie geometrica).
29. Ordinamento, non totale, dei numeri razionali.
30. I numeri razionali sono densi.
31. Cardinalità dell'insieme dei razionali
32. I numeri razionali non bastano: l'irrazionalità di radice di 2, radice di p con primo, numeri algebrici e trascendenti.
33. La scoperta del continuo e i numeri reali.
34. Cardinalità dei numeri reali.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA
1. Le origini antiche della geometria euclidea.
2. Gli Elementi di Euclide, libro I: nozioni comuni, postulati, concetti primitivi, definizioni.
3. Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi.
4. Analisi di alcune delle 48 proposizioni del libro I: Esistenza di un triangolo equilatero. Dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli e uso del principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum.
5. Terzo criterio di congruenza dei triangoli e esistenza della bisettrice-
6. Esistenza del punto medio, diseguaglianza triangolare.
7. Secondo criterio di congruenza triangoli, somma degli angoli interni di un triangolo e quinto postulato.
8. Teorema di Pitagora, con dimostrazione (secondo Euclide). Generalizzazione del teorema di Pitagora con una costante moltiplicativa.
9. Quinto postulato e formulazioni equivalenti. Quando non vale il quinto postulato: aspetti intuitivi della geometria sferica a confronto con la geometria euclidea, la non unicità delle "rette" sulla sfera e la somma degli angoli interni di un triangolo sulla sfera.
10. Il libro II di Euclide: l'algebra geometrica: La proprietà distributiva della somma sull'addizione, il quadrato di binomio, la proposizione 14: risoluzione geometrica dell'equazione x2 = ab.
11. Soluzioni dell' equazione di secondo grado col metodo del completamento del quadrato.
12. Il libro VI e il teorema di Talete sui fasci di rette parallele.
13. Le similitudini.
14. Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come intersezione di semipiani, angoli interni di un poligono, poligoni regolari, apotema, perimetri e aree (dimostrazione area triangolo, parallelogramma, e trapezio, poligono regolare).
15. Relazioni di equivalenza in geometria ed esempi di geometria dinamica: classificazione di poligoni per numero di lati, isopetrimetria ed equiestensione, problemi di massimo e minimo: i triangoli con base fissata a vertice opposto mobile su una retta parallela alla base sono equiestesi. Triangolo con un lato fissato e vertice opposto che si muove su una ellisse. Percorso del raggio di luce riflesso. La leggenda di Didone e le bolle di sapone.
16. Cenni alla geometria dello spazio: solidi, solidi regolari, solidi di rotazione. calcolo di volumi.
17. Cenni di geometria analitica: punti e rette nel piano, equazioni, appartenenza punto retta, intersezione di due rette dal punto di vista analitico, distanza tra due punti ed equazione della circonferenza.
Materiali, discussioni, forum, videolezioni disponibili mediante piattaforma moodle http://formonline.uniroma3.it/
Ana Millán Gasca Numeri e Forme , 2016, ed Zanichelli.
Altro: Simonetta Di Sieno - Sandro Levi, Aritmetica di base, Mcgraw-Hill ed.,
Lo studente può scegliere secondo il proprio gusto e le proprie competenze pregresse qualunque fonte accreditata.
Programma
I NUMERI
1. La nascita del concetto di numero e l'esperienza del contare come corrispondenza biunivoca.
2. Come si scrivono i numeri: La numerazione nella preistoria,. La numerazione nelle popolazioni antiche: sumeri, babilonesi, egizi, greci, romani.
3. Il sistema posizionale in base qualsiasi e l'abaco. Il teorema di rappresentazione dei numeri naturali.
4. L'infinito dei numeri naturali: l'intuizione del principio di induzione, esempi: i numeri triangolari, i numeri quadrati e somma dei primi n numeri dispari, suddivisione del piano in regioni mediante rette, angoli interni di un poligono convesso, altri esempi.
5. I numeri naturali oggi: gli assiomi di Peano.
6. Dal contare come corrispondenza biunivoca agli insiemi a cardinalità infinito-numerabile: cardinalità dell'insieme dei numeri pari, dei dispari e di altri sottoinsiemi dei numeri naturali.
7. Cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi finiti e procedimento diagonale per NxN.
8. Le operazioni di somma e prodotto sui naturali, e le loro proprietà.
9. Calcoli di somme e prodotti in basi diverse.
10. Il confronto di numeri naturali: l'ordinamento. Il principio del buon ordinamento come equivalente del principio di induzione.
11. Generalizziamo: la relazione di ordine su insiemi qualsiasi.
12. Un altro modo di confrontare i numeri: la divisibilità come relazione di ordine.
13. Invertire l'operazione di somma: il gruppo additivo dei numeri interi.
14. Cardinalità degli interi.
15. Ordinamento dei numeri interi.
16. La divisione euclidea: teorema di esistenza e unicità, con dimostrazione. Il teorema di rappresentazione dei numeri è conseguenza dell'esistenza della divisione.
17. Il Massimo Comun Divisore e l'algoritmo di Euclide. Identità di Bezout
18. Criteri di divisibilità tra numeri naturali.
19. Numeri primi. Un numero naturale è primo se e solo se quando divide un prodotto allora divide uno dei fattori.
20. Teorema: i numeri primi sono infiniti (con dimostrazione di Euclide, libro IX degli Elementi).
21. Il crivello di Eratostene di Cirene (III a.C.) per la ricerca dei numeri primi inferiori a un numero dato.
22. I numeri primi come atomi costituenti i numeri: il teorema fondamentale dell'aritmetica (ovvero teorema di fattorizzazione unica).
23. L'orologio e le congruenze di numeri interi: operazioni somma e prodotto in Zn e Zp.
24. Rapporti e proporzioni: le frazioni. Classi di equivalenza di frazioni.
25. Le frazioni come numeri: dal problema dell'invertibilità del prodotto alla struttura dell'insieme Q dei numeri razionali.
26. Somma e prodotto in Q.
27. La rappresentazione in base 10 e in base 3, espressioni decimali periodiche.
28. Passaggio da rappresentazione frazionaria a rappresentazione decimale e vice versa: motivazione all'algoritmo (la serie geometrica).
29. Ordinamento, non totale, dei numeri razionali.
30. I numeri razionali sono densi.
31. Cardinalità dell'insieme dei razionali
32. I numeri razionali non bastano: l'irrazionalità di radice di 2, radice di p con primo, numeri algebrici e trascendenti.
33. La scoperta del continuo e i numeri reali.
34. Cardinalità dei numeri reali.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA
1. Le origini antiche della geometria euclidea.
2. Gli Elementi di Euclide, libro I: nozioni comuni, postulati, concetti primitivi, definizioni.
3. Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi.
4. Analisi di alcune delle 48 proposizioni del libro I: Esistenza di un triangolo equilatero. Dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli e uso del principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum.
5. Terzo criterio di congruenza dei triangoli e esistenza della bisettrice-
6. Esistenza del punto medio, diseguaglianza triangolare.
7. Secondo criterio di congruenza triangoli, somma degli angoli interni di un triangolo e quinto postulato.
8. Teorema di Pitagora, con dimostrazione (secondo Euclide). Generalizzazione del teorema di Pitagora con una costante moltiplicativa.
9. Quinto postulato e formulazioni equivalenti. Quando non vale il quinto postulato: aspetti intuitivi della geometria sferica a confronto con la geometria euclidea, la non unicità delle "rette" sulla sfera e la somma degli angoli interni di un triangolo sulla sfera.
10. Il libro II di Euclide: l'algebra geometrica: La proprietà distributiva della somma sull'addizione, il quadrato di binomio, la proposizione 14: risoluzione geometrica dell'equazione x2 = ab.
11. Soluzioni dell' equazione di secondo grado col metodo del completamento del quadrato.
12. Il libro VI e il teorema di Talete sui fasci di rette parallele.
13. Le similitudini.
14. Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come intersezione di semipiani, angoli interni di un poligono, poligoni regolari, apotema, perimetri e aree (dimostrazione area triangolo, parallelogramma, e trapezio, poligono regolare).
15. Relazioni di equivalenza in geometria ed esempi di geometria dinamica: classificazione di poligoni per numero di lati, isopetrimetria ed equiestensione, problemi di massimo e minimo: i triangoli con base fissata a vertice opposto mobile su una retta parallela alla base sono equiestesi. Triangolo con un lato fissato e vertice opposto che si muove su una ellisse. Percorso del raggio di luce riflesso. La leggenda di Didone e le bolle di sapone.
16. Cenni alla geometria dello spazio: solidi, solidi regolari, solidi di rotazione. calcolo di volumi.
17. Cenni di geometria analitica: punti e rette nel piano, equazioni, appartenenza punto retta, intersezione di due rette dal punto di vista analitico, distanza tra due punti ed equazione della circonferenza.
Materiali, discussioni, forum, videolezioni disponibili mediante piattaforma moodle http://formonline.uniroma3.it/
Testi Adottati
Giorgio Israel, Ana Millán Gasca Pensare in matematica, 2012, ed Zanichelli.Ana Millán Gasca Numeri e Forme , 2016, ed Zanichelli.
Altro: Simonetta Di Sieno - Sandro Levi, Aritmetica di base, Mcgraw-Hill ed.,
Lo studente può scegliere secondo il proprio gusto e le proprie competenze pregresse qualunque fonte accreditata.
Modalità Erogazione
Le lezioni richiedono attiva partecipazione degli studenti e lo svolgimento a casa degli esercizi assegnati. Per una buona comprensione degli argomenti è necessario rivedere le lezioni parallelamente alle spiegazioni. Materiali, discussioni, forum, videolezioni disponibili mediante piattaforma moodle http://formonline.uniroma3.it/Modalità Frequenza
frequenza consigliata, come per qualunque corso di matematicaModalità Valutazione
L'esame consiste in una prova scritta di 4-6 domande, che possono richiedere di svolgere esercizi, calcoli, o di presentare definizioni e/o dimostrazioni, o anche di esporre brevemente argomenti teorici. Una eventuale prova orale può rendersi necessaria per perfezionare il voto a discrezione del docente. Causa nuove indicazioni per COVID, la sessione estiva si svolgerà in modalità a distanza, in forma colloquio orale + test conoscitivo via piattaforma Teams ufficiale scheda docente materiale didattico
1. I vocaboli numerali e il contare. Simboli: sistemi di numerazione
2. I numeri interi. Calcolo mentale e algoritmi scritti.
3. Aritmetica elementare.
4. Rapporti e proporzioni. Le basi matematiche della misura.
5. Geometria euclidea elementare, le costruzioni geometriche e il piano cartesiano.
6. Isometrie, simmetrie e trasformazioni geometriche nel piano.
7. Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali.
8. Proporzionalità e introduzione al concetto di funzione.
Si vuole inoltre costruire una visione culturale della matematica integrando le conoscenze disciplinari con una prospettiva storica (origini remote della matematica, l'idea greca di matematica e del suo valore educativo, la matematica nella scienza moderna e nella tecnologia) ed epistemologica (principio di induzione e ragionamento per ricorrenza, continuo geometrico, risoluzione di problemi, la questione dell'errore).
GIORGIO ISRAEL, ANA MILLÁN GASCA, Pensare in matematica, Bologna, Zanichelli, 2012.
ANA MILLÁN GASCA, All’inizio fu lo scriba. Piccola storia della matematica come strumento di conoscenza, Milano, Mimesis, 2009 (3° ristampa).
GIULIO CAIATI, ANGELICA CASTELLANO, In equilibrio su una linea di numeri, Milano, Mimesis, 2007.
Programma
Nel corso si vogliono ripercorrere i seguenti contenuti della matematica elementare da un punto di vista superiore allo scopo di raggiungere una conoscenza consapevole del loro significato e della rete di nessi concettuali in cui si inseriscono:1. I vocaboli numerali e il contare. Simboli: sistemi di numerazione
2. I numeri interi. Calcolo mentale e algoritmi scritti.
3. Aritmetica elementare.
4. Rapporti e proporzioni. Le basi matematiche della misura.
5. Geometria euclidea elementare, le costruzioni geometriche e il piano cartesiano.
6. Isometrie, simmetrie e trasformazioni geometriche nel piano.
7. Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali.
8. Proporzionalità e introduzione al concetto di funzione.
Si vuole inoltre costruire una visione culturale della matematica integrando le conoscenze disciplinari con una prospettiva storica (origini remote della matematica, l'idea greca di matematica e del suo valore educativo, la matematica nella scienza moderna e nella tecnologia) ed epistemologica (principio di induzione e ragionamento per ricorrenza, continuo geometrico, risoluzione di problemi, la questione dell'errore).
Testi Adottati
Testi di riferimentoGIORGIO ISRAEL, ANA MILLÁN GASCA, Pensare in matematica, Bologna, Zanichelli, 2012.
ANA MILLÁN GASCA, All’inizio fu lo scriba. Piccola storia della matematica come strumento di conoscenza, Milano, Mimesis, 2009 (3° ristampa).
GIULIO CAIATI, ANGELICA CASTELLANO, In equilibrio su una linea di numeri, Milano, Mimesis, 2007.
Modalità Erogazione
Tradizionale, in aula. Si prevedono anche attività a piccoli gruppi.Modalità Valutazione
Prova scritta.