Programma

Numeri naturali, interi relativi, numeri razionali, numeri reali. Assiomatica di R. Intervalli; maggioranti e minoranti di un sottoinsieme di R, estremo superiore e inferiore, minimo e massimo. Le funzioni, definizione di funzione, composizione di funzioni. Funzioni di una variabile reale, grafico di una funzione. Definizione di funzione iniettiva, suriettiva, funzione monotona, funzione periodica. Funzione composta e funzione inversa. Lettura del grafico di una funzione.
– Funzioni elementari: potenze, esponenziale, logaritmo, seno, coseno tangente.
– Successioni. Limite di una successione. Esempi. Operazioni con i limiti: limite della somma, del prodotto e del rapporto; composizione.
Teoremi del confronto, permanenza del segno. Ordini di grandezza, ordine di infinitesimo e di infinito. Successioni asintoticamente equivalenti e uso nei limiti. o-piccolo. Alcuni limiti notevoli. Dimostrazione di sinx/x - 1, per x-0.
– Limiti di Funzioni. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Funzioni asintotiche per x tendente a un punto. Limiti notevoli e operazioni con i limiti di funzione. Limite di funzioni composte. Relazione di asintotico tra funzioni, limiti notevoli, o-piccolo. Teoremi del confronto e permanenza segno.
– Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari (dimostrazione della continuità di sin(x) in ogni punto del suo dominio). Classificazione delle discontinuità. Estensioni continue. Teoremi con dimostrazione sulle funzioni continue (esistenza di zeri, di permanenza del segno, valori intermedi). Teorema di Weierstrass (senza dim)
– Rapporti incrementali e derivata, descrizione geometrica. Derivazione delle funzioni elementari. Derivata del prodotto, del quoziente, derivata della composizione di funzioni (con dim), derivata dell’inversa (no dim). Derivate seconde. Relazione tra derivabilità e continuità. Esempi.
– Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, Rolle e di Lagrange e interpretazioni geometriche (con dim). Convessità e continuità. Il Teorema di l’Hopital (no dim). Approssimazioni polinomiali e formula di Taylor (al secondo ordine).
– Primitive. L’integrale indefinito. Integrazione delle funzioni elementari. Integrazione per parti (con dim), per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali. calcolo di aree.
– Integrali definiti. Somme integrali per eccesso e per difetto. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Proprieta’ degli integrali definiti. Il teorema della media integrale. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
– Cenni alle equazioni differenziali. Introduzione; un modello in biologia (crescita di una popolazione biologica). Il Problema di Cauchy, esistenza e unicità delle soluzioni. Il pennello di Peano. Equazioni diff a variabili separabili, equazioni diff lineari non omogenee del primo ordine.

Modalità Erogazione

Durante il corso sono previste due prove in itinere, aperte a tutti gli studenti che desiderassero parteciparvi (con o senza OFA). Il superamento della prima prova (votazione >= 16/30), consente l'accesso alla seconda prova. Il superamento di entrambe le prove (2a prova con votazione >= 16/30 e (media tra i voti 1a e 2a prova) >= 16/30 ) consente l'accesso diretto all'orale senza dover svolgere lo scritto completo. Tuttavia, gli studenti aventi riportato il debito OFA devono NECESSARIAMENTE superare l'esame di recupero OFA prima di poter accedere all'orale nella sessione da loro scelta e completare così il superamento dell'Esame di Istituzioni. CONDIZIONI NECESSARIE PER POTER PARTECIPARE ALL'ESAME e SUPERARLO: - Aver saldato il debito OFA avendo superato la Prova di Recupero OFA (ne sarà programmata una prima di ogni sessione di Esame Scritto) - prenotarsi alla sessione scelta (chi sostiene lo scritto deve – salvo seri motivi – sostenere l’orale nella STESSA sessione). - Superare l'esame scritto con un voto >= 16/30 per poter accedere all'esame Orale - Superare l'esame orale NOTA BENE 0. Durante lo scritto/prove in itinere è consentito l'uso di appunti e libri di testo. 1. Chi supera le prove in itinere può accedere all'Orale senza dover superare la prova scritta 2. Chi supera le prove in itinere oppure lo scritto con un voto >= 24/30 potrà verbalizzare il voto senza dover sostenere l'esame orale. TUTTAVIA: se nella prova scritta riscontrassi lacune su argomenti fondamentali quali la lettura di un grafico, svolgimenti di limiti elementari, calcolo di derivate e primitive di base, prima della verbalizzazione verificherò che tali lacune siano state colmate con piccole domande di verifica a riguardo oppure richiedendo di svolgere correttamente l'esercizio in questione sbagliato/lasciato incompleto nel compito scritto. 4. Per verbalizzare il voto bisogna presentarsi alla sessione orale corrispondente allo scritto (anche se non si deve fare l’orale ma solo verbalizzare). Quindi ci si deve presentare per verbalizzare durante la sessione corrispondente dell’orale. 3. Qualora durante l'orale riscontrassi lacune su argomenti considerati fondamentali (lettura di un grafico, concetti di limite, derivazione e integrazione, calcolo di derivate e primitive di base), non potrò convalidare l'esame. Sarà necessario colmare tali lacune e ripresentarsi a una sessione orale successiva.

Modalità Valutazione

Sessioni di aprile- Giugno-Luglio 2020: prova Orale via piattaforma Teams