Acquisire una buona conoscenza degli aspetti principali della probabilità discreta: spazi di probabilità discreti, prove ripetute, variabili aleatorie, distribuzioni di probabilità, alcuni teoremi limite e i risultati più semplici per catene di Markov finite.
Curriculum
scheda docente materiale didattico
Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Valore atteso e varianza per variabili continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti.
Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale.
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Programma
Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni, esempi. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi. Probabilita' condizionata e indipendenza, formula di Bayes. Variabili aleatorie discrete: Bernoulli, binomiali, Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta.Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Valore atteso e varianza per variabili continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti.
Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale.
Testi Adottati
- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Bibliografia Di Riferimento
- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.) - F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)Modalità Erogazione
Preferibilmente in presenzaModalità Frequenza
Preferibilmente in presenzaModalità Valutazione
La prova scritta consiste prevalentemente di esercizi, ma possono esserci alcune domande di teoria (sentire il docente di riferimento per i dettagli). scheda docente materiale didattico
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita condizionata e indipendenza. Probabilita condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita di probabilita e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
- W. Feller, An introduction to probability theory and its applications (Wiley, 1968).
Programma
1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita condizionata e indipendenza. Probabilita condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita di probabilita e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale
Testi Adottati
- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
- W. Feller, An introduction to probability theory and its applications (Wiley, 1968).
Modalità Erogazione
Lezioni alla lavagnaModalità Frequenza
6 ore settimanaliModalità Valutazione
prova scritta finale e prove scritte in itinere scheda docente materiale didattico
Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Valore atteso e varianza per variabili continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti.
Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale.
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Programma
Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni, esempi. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi. Probabilita' condizionata e indipendenza, formula di Bayes. Variabili aleatorie discrete: Bernoulli, binomiali, Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta.Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Valore atteso e varianza per variabili continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti.
Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale.
Testi Adottati
- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Bibliografia Di Riferimento
- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.) - F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)Modalità Erogazione
Preferibilmente in presenzaModalità Frequenza
Preferibilmente in presenzaModalità Valutazione
La prova scritta consiste prevalentemente di esercizi, ma possono esserci alcune domande di teoria (sentire il docente di riferimento per i dettagli). scheda docente materiale didattico
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita condizionata e indipendenza. Probabilita condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita di probabilita e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
- W. Feller, An introduction to probability theory and its applications (Wiley, 1968).
Programma
1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita condizionata e indipendenza. Probabilita condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita di probabilita e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale
Testi Adottati
- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
- W. Feller, An introduction to probability theory and its applications (Wiley, 1968).
Modalità Erogazione
Lezioni alla lavagnaModalità Frequenza
6 ore settimanaliModalità Valutazione
prova scritta finale e prove scritte in itinere