20410419 - MS410-MECCANICA STATISTICA

Acquisire le basi matematiche della teoria della meccanica statistica per sistemi di particelle o spin interagenti, incluso lo studio delle misure di Gibbs e dei fenomeni di transizione di fase; imparare ad applicarle ad alcuni modelli concreti, quali il modello di Ising in dimensione d=1,2 e nell'approssimazione di campo medio.

Canali

GIULIANI ALESSANDRO

scheda docente | materiale didattico

Programma

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
|x-y|^{-p}, 1

Testi Adottati

S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

Modalità Erogazione

Lezioni in aula alla lavagna

Modalità Valutazione

Tesina su una parte del programma da concordare col docente

GIULIANI ALESSANDRO

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Mutuazione: 20410419 MS410-MECCANICA STATISTICA in Scienze Computazionali LM-40 GIULIANI ALESSANDRO

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INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
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– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione
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– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

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– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
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– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

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– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
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– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

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– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
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– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

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– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
– Teorema di Lee-Yang.
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– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

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– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
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– Teorema di Lee-Yang.
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– Modelli di meccanica statistica: ensemble microcanonico, canonico, grancanonico. Stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l'energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.

IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– Disuguaglianze GKS e FKG. Esistenza degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e - nel modello di Ising ferromagnetico.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale a primi vicini con la matrice di trasferimento: assenza di transizione di fase e decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici. Relazione del modello in campo medio con Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac): teorema di Lebowitz-Penrose
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising in due dimensioni: contorni di alta e bassa temperatura. Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a primi vicini in due dimensioni: l'argomento di Peierls. Analiticità della pressione ad alta temperatura.
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