20410445 - AL410 - ALGEBRA COMMUTATIVA

Acquisire una buona conoscenza di alcuni metodi e risultati fondamentali nello studio degli anelli commutativi e dei loro moduli, con particolare riguardo allo studio di classi di anelli di interesse per la teoria algebrica dei numeri e per la geometria algebrica.

TARTARONE FRANCESCA

scheda docente | materiale didattico

Mutuazione: 20410445 AL410 - ALGEBRA COMMUTATIVA in Matematica LM-40 TARTARONE FRANCESCA

Programma

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

Testi Adottati

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972


Modalità Erogazione

Lezioni frontali del docente con sessioni di sole esercitazioni. Si seguiranno comunque le indicazioni dell'Ateneo riguardo alla possibilità di trasmettere le lezioni su una piattaforma online (Teams) se questo si renderà necessario per l'emergenza Covid. Si richiede lo svolgimento di seminari su alcuni argomenti scelti da parte degli studenti frequentanti.

Modalità Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata

Modalità Valutazione

E' previsto lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale durante gli appelli. La prova scritta (comprese le valutazioni in itinere) consiste di 5/6 esercizi pratico/teorici da svolgere in 2,30/3 ore. Si svolgeranno anche due prove in itinere per esonerare lo studente dalla prova scritta. Gli studenti saranno valutati anche sulla base dei seminari che svolgeranno durante il corso.

TARTARONE FRANCESCA

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Programma

1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

Testi Adottati

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972


Modalità Erogazione

Lezioni frontali del docente con sessioni di sole esercitazioni. Si seguiranno comunque le indicazioni dell'Ateneo riguardo alla possibilità di trasmettere le lezioni su una piattaforma online (Teams) se questo si renderà necessario per l'emergenza Covid. Si richiede lo svolgimento di seminari su alcuni argomenti scelti da parte degli studenti frequentanti.

Modalità Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata

Modalità Valutazione

E' previsto lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale durante gli appelli. La prova scritta (comprese le valutazioni in itinere) consiste di 5/6 esercizi pratico/teorici da svolgere in 2,30/3 ore. Si svolgeranno anche due prove in itinere per esonerare lo studente dalla prova scritta. Gli studenti saranno valutati anche sulla base dei seminari che svolgeranno durante il corso.

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1. Moduli

Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Annullatore. Homomor-
fismi e moduli quoziente. Generatori e basi. Moduli liberi. Invarianza del rango.
Somma diretta e prodotto diretto. Prodotto tensoriale di
moduli. Proprietà universale. Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Estensione e restrizione degli scalari. Il Teo-
rema di Caylay-Hamilton. Il Lemma di Nakayama.

2. Ideali
Operazioni tra ideali. Omomorfismi di anelli e anelli quoziente. Ideali primi
e primari. Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Radicale di Jacobson
e Nilradicale. Ideali radicali. Anelli ridotti. Il Teorema Cinese dei Resti. Prime
Avoidance Theorem. Ideali frazionari di domini. Ideali invertibili.

3. Anelli e moduli di frazioni
Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. Anelli e moduli di frazioni.
Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni. Anelli
locali. Proprietà locali. Lanello delle serie formali su un campo.


4. Dipendenza integrale
Dipendenza integrale e chiusura integrale. Propriet`a di stabilit`a e transitivit`a
della dipendenza integrale. Lying over, Inc e Going up. Dimensione di Krull della
chiusura integrale. Cenni sulla noetherianità della chiusura integrale. Anelli di
valutazione e loro caratterizzazioni. Anelli di valutazione discreta. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Anelli di Dedekind

5. Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani
Condizioni delle catene e propriet`a equivalenti. Anelli e moduli noetheriani.
Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Il Teorema
di Cohen. Decomposizione primaria di ideali. Teoremi di unicità. Primi associati
e zerodivisori. Anelli e moduli artiniani. Teorema di caratterizzazione degli anelli
artiniani. Il Teorema dell’Ideale Principale.

Testi Adottati

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, 1972


Modalità Erogazione

Lezioni frontali del docente con sessioni di sole esercitazioni. Si seguiranno comunque le indicazioni dell'Ateneo riguardo alla possibilità di trasmettere le lezioni su una piattaforma online (Teams) se questo si renderà necessario per l'emergenza Covid. Si richiede lo svolgimento di seminari su alcuni argomenti scelti da parte degli studenti frequentanti.

Modalità Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata

Modalità Valutazione

E' previsto lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale durante gli appelli. La prova scritta (comprese le valutazioni in itinere) consiste di 5/6 esercizi pratico/teorici da svolgere in 2,30/3 ore. Si svolgeranno anche due prove in itinere per esonerare lo studente dalla prova scritta. Gli studenti saranno valutati anche sulla base dei seminari che svolgeranno durante il corso.