Programma

PROGRAMMA DI MATEMATICA GENERALE a.a 2026-2027
CANALI A-C/D-K
A.Congedo

Logica, insiemi ed insiemi numerici
Logica proposizionale. Proposizioni. Proposizioni decidibili. Operazioni tra proposizioni. Implicazione logica. Necessità, sufficienza e necessità e
sufficienza. Tavole di verità. Teorema. Metodi per la dimostrazione di un teorema.
Insiemi. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici:
numeri naturali, numeri relativi e numeri razionali. Estremo superiore ed inferiore
di un insieme numerico. Assioma di Dedekind.
L'insieme dei numeri reali. Numeri reali e loro rappresentazione sulla retta.
Insiemi limitati e non limitati. Massimo e minimo di un insieme numerico. Intervalli
e intorni. Elementi di topologia della retta: punti isolati, di frontiera,
interni e di accumulazione. Insiemi aperti. Insiemi chiusi.

Sommatoria
Definizione di sommatoria. Somma dei primi n naturali. Somma dei
primi n termini di una progressione geometrica. Proprietà della sommatoria.

Funzioni reali di una variabile reale
Funzioni reali di una variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una
funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni invertibili. Funzioni pari e
dispari. Crescenza e decrescenza. Legame tra monotonia e iniettività. Funzione
inversa. Grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Trasformazioni di
funzioni elementari. Funzione composta. Funzioni definite a più leggi. Dominio
di una funzione.

Successioni e serie numeriche
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Calcolo di limiti di successioni.
Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza
di una serie. Il carattere della serie geometrica.

Limiti di funzioni reali di variabile reale
Definizione di limite finito o infinito al finito e all'infinito. Limite destro e
limite sinistro. Asintoto verticale e orizzontale. Asintoto obliquo. Verifica del
limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno
in forma diretta e in forma inversa. Operazioni razionali sui limiti. Forme
indeterminate. Limiti notevoli.

Infinitesimi e infiniti
Definizione di infinitesimo e di infinito. Confronto fra infinitesimi e fra
infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teoremi di cancellazione.
Propagazione dell'ordine.

Continuità
Definizione di continuità in un punto. Continuità in un insieme. Classificazione
dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità
della funzione composta. Continuità della funzione definita a più leggi.
Teorema degli zeri per funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema
di Darboux.

Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto e suo significato
geometrico. Derivabilità implica continuità. Punti di non derivabilità.
Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivata delle funzioni
elementari. Le regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Teorema
di De L'Hopital e sua applicazione alle forme indeterminate. Polinomio
di Taylor di ordine 1 e di ordine 2. Il fattoriale di n: Polinomio di Taylor di ordine n. Differenziale e suo significato geometrico.
Teorema sul resto di primo ordine. Massimi e minimi locali.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange.
Corollari al teorema di Lagrange. Relazione fra il segno della derivata prima
e la crescenza/decrescenza di una funzione in un intervallo. Concavità e convessità in un punto. Relazione fra il segno della derivata seconda e la
convessità/concavità di una funzione in un intervallo. Punti di flesso. Condizioni sufficienti di ordine n per l'esistenza di massimi e minimi relativi o flessi.
Condizioni di concavità e convessità globale.

Calcolo integrale
Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà delle primitive.
Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione
per parti. Integrazione per sostituzione. Area sottesa da una
curva. Somma integrale superiore e inferiore. Definizione di integrale definito
secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema
della media integrale. Teorema di Torricelli-Barrow. Corollario
al teorema di Torricelli-Barrow.

Algebra lineare
Vettori e loro rappresentazione geometrica. Lo spazio Rn.
Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori.
Combinazione lineare di vettori.
Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici.
Prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice. Matrice inversa. Unicità della matrice inversa. Condizione necessaria per l'esistenza della
matrice inversa. Condizione sufficiente per l'esistenza della matrice inversa. Matrice trasposta. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Il
principio del minore orlato. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Testi adottati:
Dispense fornite dal docente
Cesaroni, Corradini, Lampariello Matematica Generale Edizioni Giappichelli, I2024 ISBN-13 ‏ : ‎ 979-1221107746

Bibliografia Di Riferimento

Bibliografia di riferimento: Alessandro Blasi, Matematica: Corso base per la facoltà di Economia, Kappa, 2006 Angelo Guerraggio, Matematica , Ed. Pearson 2009.

Modalità Erogazione

Nel caso di un prolungamento dell'emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolano le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare per lo svolgimento del corso nell'a.a. 2020-2021 si applicherà la modalità a distanza Si consiglia inoltre di visionare con regolarità i canali d'informazione istituzionali predisposti dall'Ateneo ai fini di una tempestiva conoscenza dei provvedimenti emergenziali in vigore.

Modalità Frequenza

La frequenza al corso è in presenza per otto ore settimanali dal 28 settembre a metà dicembre. La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata, al fine di conseguire tutte le conoscenze e gli strumenti necessari al superamento dell'esame e all'approfondimento della matematica utile per la prosecuzione del percorso universitario.

Modalità Valutazione

L'esame consiste in una prova scritta, della durata di 50 minuti che si svolge utilizzando il Test Moodle della piattaforma Moodle che consente di acquisire un voto massimo di 24/30 e in una prova orale facoltativa risultato della media tra la prova scritta e la prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi, e nella individuazione della verità o falsità di proposizioni matematiche e domande teoriche riguardanti l'intero programma. L'esame orale consiste in una o più domande riguardanti il programma svolto, incluse le definizioni e le dimostrazioni dei teoremi e svolgimento di esercizi.