Programma

Logica

Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.

Teoria degli insiemi

Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.

Relazioni e funzioni – cenni iniziali

Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.

Sommatorie

Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.

Funzioni reali

Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.

Topologia della retta

Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.

Limiti e continuità

Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.

Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.

Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.

Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.

Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.

Derivate

Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.

Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.

Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.

Integrali

Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.

Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Vettori e matrici

Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.

Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.

Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari

Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025

Modalità Frequenza

La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Testi Adottati

Testi adottati:
- Mastroeni, Mazzoccoli: "Matematica Generale Teoria". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893854900
- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

Consigliati:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.

Bibliografia Di Riferimento

Consigliati: - Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910 Facoltativi: -Peccati, Salsa, Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea. - Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.

Modalità Erogazione

Lezione frontale

Modalità Frequenza

Frequenza non obbligatoria

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica

Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.

Teoria degli insiemi

Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.

Relazioni e funzioni – cenni iniziali

Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.

Sommatorie

Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.

Funzioni reali

Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.

Topologia della retta

Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.

Limiti e continuità

Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.

Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.

Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.

Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.

Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.

Derivate

Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.

Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.

Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.

Integrali

Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.

Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Vettori e matrici

Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.

Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.

Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari

Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025

Modalità Frequenza

La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Testi Adottati

Testi adottati:
- Mastroeni, Mazzoccoli: "Matematica Generale Teoria". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893854900
- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

Consigliati:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.

Bibliografia Di Riferimento

Consigliati: - Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910 Facoltativi: -Peccati, Salsa, Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea. - Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.

Modalità Erogazione

Lezione frontale

Modalità Frequenza

Frequenza non obbligatoria

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica

Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.

Teoria degli insiemi

Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.

Relazioni e funzioni – cenni iniziali

Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.

Sommatorie

Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.

Funzioni reali

Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.

Topologia della retta

Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.

Limiti e continuità

Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.

Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.

Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.

Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.

Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.

Derivate

Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.

Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.

Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.

Integrali

Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.

Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Vettori e matrici

Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.

Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.

Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari

Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025

Modalità Frequenza

La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Testi Adottati

Testi adottati:
- Mastroeni, Mazzoccoli: "Matematica Generale Teoria". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893854900
- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

Consigliati:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.

Bibliografia Di Riferimento

Consigliati: - Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910 Facoltativi: -Peccati, Salsa, Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea. - Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.

Modalità Erogazione

Lezione frontale

Modalità Frequenza

Frequenza non obbligatoria

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica

Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.

Teoria degli insiemi

Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.

Relazioni e funzioni – cenni iniziali

Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.

Sommatorie

Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.

Funzioni reali

Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.

Topologia della retta

Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.

Limiti e continuità

Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.

Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.

Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.

Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.

Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.

Derivate

Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.

Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.

Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.

Integrali

Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.

Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Vettori e matrici

Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.

Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.

Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari

Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025

Modalità Frequenza

La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Testi Adottati

Testi adottati:
- Mastroeni, Mazzoccoli: "Matematica Generale Teoria". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893854900
- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

Consigliati:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.

Bibliografia Di Riferimento

Consigliati: - Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910 Facoltativi: -Peccati, Salsa, Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea. - Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.

Modalità Erogazione

Lezione frontale

Modalità Frequenza

Frequenza non obbligatoria

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica

Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.

Teoria degli insiemi

Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.

Relazioni e funzioni – cenni iniziali

Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.

Sommatorie

Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.

Funzioni reali

Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.

Topologia della retta

Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.

Limiti e continuità

Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.

Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.

Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.

Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.

Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.

Derivate

Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.

Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.

Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.

Integrali

Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.

Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Vettori e matrici

Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.

Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.

Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari

Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025

Modalità Frequenza

La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Testi Adottati

Testi adottati:
- Mastroeni, Mazzoccoli: "Matematica Generale Teoria". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893854900
- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

Consigliati:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.

Bibliografia Di Riferimento

Consigliati: - Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910 Facoltativi: -Peccati, Salsa, Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea. - Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.

Modalità Erogazione

Lezione frontale

Modalità Frequenza

Frequenza non obbligatoria

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica

Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.

Teoria degli insiemi

Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.

Relazioni e funzioni – cenni iniziali

Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.

Sommatorie

Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.

Funzioni reali

Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.

Topologia della retta

Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.

Limiti e continuità

Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.

Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.

Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.

Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.

Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.

Derivate

Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.

Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.

Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.

Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.

Integrali

Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.

Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Vettori e matrici

Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.

Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.

Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari

Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.

Testi Adottati

Consigliati:
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025

Modalità Frequenza

La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.

Programma

Logica, insiemi ed insiemi numerici

· Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.

· Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. Radice di due non appartiene ai numeri razionali (c.d). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.

· Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.

Funzioni reali di una variabile reale

· Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione. Definizione di successione.

· Limiti, continuità e discontinuità: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa. Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.

· Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e infiniti. Propagazione dell’ordine.

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Regole di derivazione (c.d.). Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (c.d.). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite (c.d.). Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla. Relazioni tra la monotonia e la derivata. Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (cenni, derivate parziali, differenziale totale).

· Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.

Calcolo integrale

· Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d).

· Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow. Integrazione definita

Algebra lineare

· Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori.

· Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.

· Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Testi Adottati

Testi adottati:
- Mastroeni, Mazzoccoli: "Matematica Generale Teoria". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893854900
- Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910

Consigliati:
-Peccati, Salsa, Squellati. "Matematica per l'economia e l'azienda". Egea.

-Bramanti, Pagani, Salsa. "Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Seconda edizione

- Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. "Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia". Società Editrice Esculapio, 2009.

Bibliografia Di Riferimento

Consigliati: - Mastroeni, Mazzoccoli, Vellucci: "Esercizi di matematica generale". Società editrice Esculapio. ISBN 9788893853910 Facoltativi: -Peccati, Salsa, Squellati. Matematica per l'economia e l'azienda. Egea. - Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.

Modalità Erogazione

Lezione frontale

Modalità Frequenza

Frequenza non obbligatoria

Modalità Valutazione

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.