Fornire una solida preparazione di base negli aspetti principali della teoria dei processi gaussiani, del moto browniano, della teoria dell'integrazione stocastica anche con elementi della teoria delle equazioni differenziali stocastiche.
Curriculum
scheda docente materiale didattico
Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker e applicazioni.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac. Applicazioni alla matematica finanziaria (cenni al modello di Black-Scholes).
- An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
- Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998) https://www.springer.com/gp/book/9780387976556
- An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
https://people.emich.edu/ocalin/Teaching_files/D18N.pdf
Mutuazione: 20410457 CP430 - CALCOLO STOCASTICO in Matematica LM-40 CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Moto Browniano I. Definizione, proprieta' e costruzione esplicita del Moto Browniano. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione.Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker e applicazioni.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac. Applicazioni alla matematica finanziaria (cenni al modello di Black-Scholes).
Testi Adottati
- Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf- An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
- Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998) https://www.springer.com/gp/book/9780387976556
- An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
https://people.emich.edu/ocalin/Teaching_files/D18N.pdf
Modalità Erogazione
60 ore di lezione frontale (includendo esercitazioni)Modalità Valutazione
Solamente esame finale (no esoneri), consistera' di scritto + orale. SCRITTO: solamente definizioni + esercizi (ovviamente per risolverli bisogna conoscere i risultati della teoria). Lo scritto durera' 2 ore e consistera' di 4 esercizi, ciascuno con valore di 8 punti. ORALE: Definizioni + teoremi + dimostrazioni. La prima domanda sara' per tutti di esporre un argomento a scelta. L'orale durera' circa 45 minuti. scheda docente materiale didattico
Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker e applicazioni.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac. Applicazioni alla matematica finanziaria (cenni al modello di Black-Scholes).
- An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
- Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998) https://www.springer.com/gp/book/9780387976556
- An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
https://people.emich.edu/ocalin/Teaching_files/D18N.pdf
Mutuazione: 20410457 CP430 - CALCOLO STOCASTICO in Matematica LM-40 CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Moto Browniano I. Definizione, proprieta' e costruzione esplicita del Moto Browniano. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione.Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker e applicazioni.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Equazioni alle derivate parziali. Formula di Feynman-Kac. Applicazioni alla matematica finanziaria (cenni al modello di Black-Scholes).
Testi Adottati
- Brownian Motion (Moerters and Peres): http://www.mi.uni-koeln.de/~moerters/book/book.pdf- An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
- Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998) https://www.springer.com/gp/book/9780387976556
- An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
https://people.emich.edu/ocalin/Teaching_files/D18N.pdf
Modalità Erogazione
60 ore di lezione frontale (includendo esercitazioni)Modalità Valutazione
Solamente esame finale (no esoneri), consistera' di scritto + orale. SCRITTO: solamente definizioni + esercizi (ovviamente per risolverli bisogna conoscere i risultati della teoria). Lo scritto durera' 2 ore e consistera' di 4 esercizi, ciascuno con valore di 8 punti. ORALE: Definizioni + teoremi + dimostrazioni. La prima domanda sara' per tutti di esporre un argomento a scelta. L'orale durera' circa 45 minuti.