Programma

Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni fra insiemi: applicazioni invettive, suriettive, biiettive.
Cenni di logica proposizionale, tavole di verità. Relazioni d'equivalenza e d'ordine.
Elementi di calcolo combinatorio. Coefficienti binomiali e teorema binomiale. Permutazioni. 
I numeri interi: divisibilità, MCD e algoritmo di Euclide, identità di Bézout, congruenze lineari.
Cenni sulle strutture algebriche: gruppi di permutazioni, gruppi astratti, polinomi e campi finiti.
Elementi di teoria dei grafi.Reticoli e algebre di Boole.

Testi Adottati

Giulia Maria Piacentini Cattaneo
Matematica discreta e applicazioni
Zanichelli 2008

Bibliografia Di Riferimento

nessuno

Modalità Erogazione

lezioni frontali

Modalità Frequenza

frequenza consigliata

Modalità Valutazione

prova scritta

Programma

Richiami di teoria degli insiemi. Unione, intersezione, prodotto cartesiano,
differenza, complementare. Insieme delle parti di un insieme finito, e sua
cardinalità.

Elementi di logica: calcolo proposizionale. Operazioni di negazione,
congiunzione, disgiunzione, XOR, implicazione logica, doppia implicazione.
Tavole di verità. Equivalenza logica. Tautologie e contraddizioni. Cenni
sui predicati. Quantificatore universale e esistenziale.

Applicazioni fra insiemi. Dominio, codominio, immagine, controimmagine.
Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Applicazione inversa.
Prodotto operatorio fra applicazioni. Identità. L’insieme delle applicazioni
fra due insiemi finiti e la sua cardinalità. Permutazioni.

Relazioni. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva:
relazione di ordine e di equivalenza. Esempi di relazioni. Insiemi parzialmente
ordinati. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insieme
quoziente.

Numeri interi: divisibilità e sue proprietà. Divisione con il resto. Massimo
comune divisore. Algoritmo di Euclide. Identità di B ́ezout, algoritmo
di Euclide esteso. Equazioni diofantine. Applicazione dell’algoritmo di
Euclide alle ricerca di soluzioni intere per l’equazione ax + by = c. Numeri
primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica e teorema di Euclide.

Congruenza modulo n. L’insieme Z/nZ delle classi resto modulo n. Somma e
moltiplicazione in Z/nZ. Congruenze lineari. Condizione per la risolubilità.
Descrizione delle soluzioni delle congruenze lineari. Sistemi di congruenze
e teorema cinese dei resti. Elementi invertibili in Z/nZ. Funzione φ di Eulero.
Piccolo teorema di Fermat, teorema di Eulero-Fermat.

Combinatoria: disposizioni e combinazioni senza ripetizioni, coefficienti
binomiali. Proprietà dei coefficienti binomiali, Sviluppo del binomio.
Disposizioni e combinazioni con ripetizioni, triangolo di Tartaglia.

Insiemi parzialmente ordinati, diagrammi di Hasse. Massimo e minimo,
elementi massimali e minimali, maggioranti e minoranti, sup e inf.
Reticoli. Proprietà di inf e sup in un reticolo. Reticoli algebrici. Reticoli
limitati, complementati, distributivi. Algebre di Boole.

Testi Adottati

Piacentini Cattaneo, Matematica discreta. Zanichelli.
Delizia-Longobardi-Maj-Nicotera, Matematica Discreta, McGraw Hill.
Procesi-Rota, Elementi di algebra e matematica discreta. Accademica.

Modalità Valutazione

scritto di due ore con esercizi teorici e pratici

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Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni fra insiemi: applicazioni invettive, suriettive, biiettive.
Cenni di logica proposizionale, tavole di verità. Relazioni d'equivalenza e d'ordine.
Elementi di calcolo combinatorio. Coefficienti binomiali e teorema binomiale. Permutazioni. 
I numeri interi: divisibilità, MCD e algoritmo di Euclide, identità di Bézout, congruenze lineari.
Cenni sulle strutture algebriche: gruppi di permutazioni, gruppi astratti, polinomi e campi finiti.
Elementi di teoria dei grafi.Reticoli e algebre di Boole.

Testi Adottati

Giulia Maria Piacentini Cattaneo
Matematica discreta e applicazioni
Zanichelli 2008

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differenza, complementare. Insieme delle parti di un insieme finito, e sua
cardinalità.

Elementi di logica: calcolo proposizionale. Operazioni di negazione,
congiunzione, disgiunzione, XOR, implicazione logica, doppia implicazione.
Tavole di verità. Equivalenza logica. Tautologie e contraddizioni. Cenni
sui predicati. Quantificatore universale e esistenziale.

Applicazioni fra insiemi. Dominio, codominio, immagine, controimmagine.
Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Applicazione inversa.
Prodotto operatorio fra applicazioni. Identità. L’insieme delle applicazioni
fra due insiemi finiti e la sua cardinalità. Permutazioni.

Relazioni. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva:
relazione di ordine e di equivalenza. Esempi di relazioni. Insiemi parzialmente
ordinati. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insieme
quoziente.

Numeri interi: divisibilità e sue proprietà. Divisione con il resto. Massimo
comune divisore. Algoritmo di Euclide. Identità di B ́ezout, algoritmo
di Euclide esteso. Equazioni diofantine. Applicazione dell’algoritmo di
Euclide alle ricerca di soluzioni intere per l’equazione ax + by = c. Numeri
primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica e teorema di Euclide.

Congruenza modulo n. L’insieme Z/nZ delle classi resto modulo n. Somma e
moltiplicazione in Z/nZ. Congruenze lineari. Condizione per la risolubilità.
Descrizione delle soluzioni delle congruenze lineari. Sistemi di congruenze
e teorema cinese dei resti. Elementi invertibili in Z/nZ. Funzione φ di Eulero.
Piccolo teorema di Fermat, teorema di Eulero-Fermat.

Combinatoria: disposizioni e combinazioni senza ripetizioni, coefficienti
binomiali. Proprietà dei coefficienti binomiali, Sviluppo del binomio.
Disposizioni e combinazioni con ripetizioni, triangolo di Tartaglia.

Insiemi parzialmente ordinati, diagrammi di Hasse. Massimo e minimo,
elementi massimali e minimali, maggioranti e minoranti, sup e inf.
Reticoli. Proprietà di inf e sup in un reticolo. Reticoli algebrici. Reticoli
limitati, complementati, distributivi. Algebre di Boole.

Testi Adottati

Piacentini Cattaneo, Matematica discreta. Zanichelli.
Delizia-Longobardi-Maj-Nicotera, Matematica Discreta, McGraw Hill.
Procesi-Rota, Elementi di algebra e matematica discreta. Accademica.

Modalità Valutazione

scritto di due ore con esercizi teorici e pratici