Topologia: classificazione topologica di curve e superfici. Geometria differenziale: studio della geometria di curve e superfici in R^3 per fornire esempi concreti e facilmente calcolabili sul concetto di curvatura in geometria. I metodi usati pongono la geometria in relazione con il calcolo di più variabili, l'algebra lineare e la topologia, fornendo allo studente una visione ampia di alcuni aspetti della matematica.
scheda docente materiale didattico
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loroorientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.
Testi Adottati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
Modalità Valutazione
Il voto finale si basa su una prova scritta in classe, esercizi per casa e progetto di laboratorio. scheda docente materiale didattico
Programma
Incontri nel laboratorio informatica per l'uso del software Wolfram Mathematica per visualizzazione grafica delle curve e delle superficieTesti Adottati
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon, "Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica"Bibliografia Di Riferimento
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon, "Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica"Modalità Erogazione
Laboratorio informaticoModalità Valutazione
Tesina in Mathematica