Acquisire una solida preparazione negli aspetti principali della teoria della probabilità: costruzione di misure di probabilità su spazi misurabili, legge 0- 1, indipendenza, aspettazioni condizionate, variabili casuali, convergenza di variabili casuali, funzioni caratteristiche, teorema del limite centrale, processi di ramificazione e alcuni risultati fondamentali nella teoria delle martingale a tempo discreto
scheda docente materiale didattico
Introduzione alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'. Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita'.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria.
Indipendenza. Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite. Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata rispetto a una sotto sigma algebra.
Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita' dell’attesa condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni.
Processi stocastici a tempo discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo "optional stopping". Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1.
Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2. Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Fruizione: 20410414 CP410 - TEORIA DELLA PROBABILITÀ in Matematica LM-40 CAPUTO PIETRO, CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.Introduzione alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'. Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita'.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria.
Indipendenza. Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite. Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata rispetto a una sotto sigma algebra.
Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita' dell’attesa condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni.
Processi stocastici a tempo discreto. Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo "optional stopping". Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^1.
Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2. Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
Testi Adottati
D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Modalità Erogazione
Lezioni frontali, esercitazioni e esercizi svolti disponibili online.Modalità Valutazione
2 prove scritte intermedie di due ore ciascuna, 1 prova scritta finale di tre oreFruizione: 20410414 CP410 - TEORIA DELLA PROBABILITÀ in Matematica LM-40 CAPUTO PIETRO, CANDELLERO ELISABETTA