Acquisire una buona conoscenza degli aspetti principali della probabilità discreta: spazi di probabilità discreti, prove ripetute, variabili aleatorie, distribuzioni di probabilità, alcuni teoremi limite e i risultati più semplici per catene di Markov finite.
Curriculum
scheda docente materiale didattico
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa.
Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione
per la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di
convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione
esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di
variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).
Programma
1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa.
Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione
per la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di
convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione
esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di
variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
Testi Adottati
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo, (2007).F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).
Bibliografia Di Riferimento
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo, (2007). F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).Modalità Erogazione
Lezione frontale, esercitazione, esercizi svolti disponibili online.Modalità Valutazione
2 prove scritte intermedie (due ore ciascuna) e 1 prova scritta finale (tre ore) scheda docente materiale didattico
F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Programma
Fare riferimento alla pagina del corsoTesti Adottati
Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Bibliografia Di Riferimento
Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.) F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)Modalità Erogazione
Esercitazioni frontali - gli esercizi proposti servono a chiarire e mettere in pratica i concetti visti a lezioneModalità Valutazione
Fare riferimento alla pagina del corso scheda docente materiale didattico
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa.
Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione
per la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di
convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione
esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di
variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).
Programma
1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa.
Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione
per la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di
convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione
esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di
variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
Testi Adottati
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo, (2007).F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).
Bibliografia Di Riferimento
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo, (2007). F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer, (2013).Modalità Erogazione
Lezione frontale, esercitazione, esercizi svolti disponibili online.Modalità Valutazione
2 prove scritte intermedie (due ore ciascuna) e 1 prova scritta finale (tre ore) scheda docente materiale didattico
F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Programma
Fare riferimento alla pagina del corsoTesti Adottati
Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)
Bibliografia Di Riferimento
Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.) F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)Modalità Erogazione
Esercitazioni frontali - gli esercizi proposti servono a chiarire e mettere in pratica i concetti visti a lezioneModalità Valutazione
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