Acquisire una buona conoscenza di concetti e metodi di base relativi al calcolo differenziale e integrale in una variabile reale attraverso lo studio di modelli, esempi e problemi.
Curriculum
scheda docente materiale didattico
Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Programma
Parte 1: Richiami di competenze scolastiche.Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
Testi Adottati
"Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R", L. Chierchia, McGraw-Hill Education"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Bibliografia Di Riferimento
"Analisi Matematica 1", M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica 1", C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica", M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, MCGraw-Hill "Esercizi di Analisi Matematica", S. Salsa e A. Squellati, Zanichelli "Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini e C. Sbordone, LiguoriModalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verrà spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Frequenza
La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente. scheda docente materiale didattico
Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Programma
Parte 1: Richiami di competenze scolastiche.Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
Testi Adottati
"Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R", L. Chierchia, McGraw-Hill Education"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Bibliografia Di Riferimento
"Analisi Matematica 1", M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica 1", C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica", M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, MCGraw-Hill "Esercizi di Analisi Matematica", S. Salsa e A. Squellati, Zanichelli "Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini e C. Sbordone, LiguoriModalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verrà spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Frequenza
La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente. scheda docente materiale didattico
Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Programma
Parte 1: Richiami di competenze scolastiche.Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
Testi Adottati
"Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R", L. Chierchia, McGraw-Hill Education"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Bibliografia Di Riferimento
"Analisi Matematica 1", M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica 1", C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica", M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, MCGraw-Hill "Esercizi di Analisi Matematica", S. Salsa e A. Squellati, Zanichelli "Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini e C. Sbordone, LiguoriModalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verrà spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Frequenza
La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente. scheda docente materiale didattico
Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Programma
Parte 1: Richiami di competenze scolastiche.Numeri reali e suoi sottoinsiemi (N, Z, Q).
Radici e proprietà delle potenze razionali.
Disequazioni (anche risoluzione grafica).
Proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Parte 2: Introduzione al concetto di limite, continuità e differenziabilità attraverso definizioni, esempi ed esercizi
Definizione di limite per funzioni da R in R.
Calcolo di delta in funzione di epsilon in casi semplici.
Proprietà fondamentali dei limiti: algebra dei limiti e calcolo di limiti finiti.
Limiti infiniti, limite di successioni.
Algebra dei limiti estesa: estensione del calcolo dei limiti.
Funzioni continue e punti di discontinuità.
Derivata: definizione e regole di derivazione (enunciati). Calcolo di derivate.
Relazione tra derivata e monotonìa.
Convessità: definizione e criteri per funzioni C^1 e C^2.
Applicazioni allo studio qualitativo dei grafici di funzioni.
Parte 3: Introduzione al concetto di integrale e serie attraverso definizioni, esempi ed esercizi.
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali (linearità, invarianza
per traslazione, positività). Calcolo di semplici integrali usando la definizione.
Illustrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo di Primitive: metodi principali (sostituzione, integrazione per parti); integrazione di funzioni razionali e altre classi speciali.
Serie numeriche. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Integrali impropri. Criteri di convergenza: enunciati ed applicazioni.
Parte 4: Metodi risolutivi elementari di equazioni differenziali
Metodi risolutivi per classi speciali di equazioni differenziali ordinali (EDO) incluso:
lineari prim’ordine, a variabili separabili, del secondo ordine a coefficienti costanti, etc.
Testi Adottati
"Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R", L. Chierchia, McGraw-Hill Education"Analisi Matematica 1", E. Giusti, Bollati Boringhieri
Testi di esercizi:
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", E. Giusti, Bollati Boringhieri
"Esercizi e problemi di Analisi Matematica", B.P. Demidovich, Editori Riuniti
Bibliografia Di Riferimento
"Analisi Matematica 1", M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica 1", C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli "Analisi Matematica", M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, MCGraw-Hill "Esercizi di Analisi Matematica", S. Salsa e A. Squellati, Zanichelli "Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini e C. Sbordone, LiguoriModalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verrà spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Frequenza
La frequenza è opzionale e la comprensione dei testi adottati è sufficiente ai fini del corso. Ovviamente, la frequenza è auspicata e FORTEMENTE raccomandata, in quanto l'interazione tra docente e studenti è uno strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente.