I. Acquisire tecniche e metodi relativi a funzioni inverse e implicite in R^n con applicazioni a problemi vincolati.
II. Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica su R^n, e, in particolare, su curve e superfici in R^3 con le
relative applicazioni alla Fisica
II. Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica su R^n, e, in particolare, su curve e superfici in R^3 con le
relative applicazioni alla Fisica
Curriculum
scheda docente materiale didattico
Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Analisi Matematica II, Chierchia
Programma
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Testi Adottati
Analisi Matematica II, GiustiAnalisi Matematica II, Chierchia
Modalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimana.Modalità Frequenza
La frequenza è consigliataModalità Valutazione
prova scritta con esercizi e successiva prova orale scheda docente materiale didattico
Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
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Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Testi Adottati
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La frequenza è consigliataModalità Valutazione
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Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Analisi Matematica II, Chierchia
Programma
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Testi Adottati
Analisi Matematica II, GiustiAnalisi Matematica II, Chierchia
Modalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimana.Modalità Frequenza
La frequenza è consigliataModalità Valutazione
prova scritta con esercizi e successiva prova orale scheda docente materiale didattico
Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Analisi Matematica II, Chierchia
Programma
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange .Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice),
Teorema di esistenza e unicita’ .
Sistemi lineari, struttura delle soluzioni, wronskiano, variazione di costanti.
Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoli
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
Testi Adottati
Analisi Matematica II, GiustiAnalisi Matematica II, Chierchia
Modalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimana.Modalità Frequenza
La frequenza è consigliataModalità Valutazione
prova scritta con esercizi e successiva prova orale