I. Acquisire tecniche e metodi relativi a funzioni inverse e implicite in R^n con applicazioni a problemi vincolati.
II. Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica su R^n, e, in particolare, su curve e superfici in R^3 con le
relative applicazioni alla Fisica
II. Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica su R^n, e, in particolare, su curve e superfici in R^3 con le
relative applicazioni alla Fisica
scheda docente materiale didattico
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
3. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
4. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
5. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Continuità del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza. Esempi di serie di Taylor di funzioni elementari.
6. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue. Convergenza puntuale della serie di Fourier (test del Dini). Convergenza totale nel caso di funzioni C1. Uguaglianza di Parseval.
Analisi Matematica II, Chierchia
Fruizione: 20410586 AM220-ANALISI MATEMATICA 4 in Matematica L-35 HAUS EMANUELE, BIASCO LUCA
Programma
1. Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoliin R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
3. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
4. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
5. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Continuità del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza. Esempi di serie di Taylor di funzioni elementari.
6. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue. Convergenza puntuale della serie di Fourier (test del Dini). Convergenza totale nel caso di funzioni C1. Uguaglianza di Parseval.
Testi Adottati
Analisi Matematica II, GiustiAnalisi Matematica II, Chierchia
Modalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimana. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche. In particolare si applicheranno le seguenti modalità: svolgimento di lezione a distanza in diretta e registrazione della lezione stessa.Modalità Valutazione
prova scritta e successiva prova orale scheda docente materiale didattico
in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
3. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
4. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
5. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Continuità del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza. Esempi di serie di Taylor di funzioni elementari.
6. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue. Convergenza puntuale della serie di Fourier (test del Dini). Convergenza totale nel caso di funzioni C1. Uguaglianza di Parseval.
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Fruizione: 20410586 AM220-ANALISI MATEMATICA 4 in Matematica L-35 HAUS EMANUELE, BIASCO LUCA
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1. Integrale di Riemann in Rn Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione. Rettangoliin R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile, un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile. Teorema di riduzione di Fubini.
Formula del cambio di variabile negli integrali (senza dim.). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve regolari
Curve regolari in R^n. Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente.
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.
Integrali curvilinei.
3. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani.
4. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali. Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale. Insiemi stellati; una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati). Il teorema di Green nel piano. Il teorema del Rotore.
5. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Continuità del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza. Esempi di serie di Taylor di funzioni elementari.
6. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue. Convergenza puntuale della serie di Fourier (test del Dini). Convergenza totale nel caso di funzioni C1. Uguaglianza di Parseval.
Testi Adottati
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Modalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimana. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche. In particolare si applicheranno le seguenti modalità: svolgimento di lezione a distanza in diretta e registrazione della lezione stessa.Modalità Valutazione
prova scritta e successiva prova orale