Acquisire una buona conoscenza di base della teoria dell'integrazione di Lebesgue in R^n, della teoria di Fourier e dei risultati principali nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
Curriculum
scheda docente materiale didattico
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.
Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.
Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).
Programma
Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^nDefinizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.
Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.
Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).
Testi Adottati
Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.Bibliografia Di Riferimento
Lezioni di analisi matematica 2 di Luigi Chierchia. Aracne 1997 EAN: 9788879991780. ISBN: 8879991787. Pagine: 287Modalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verra spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche . In particolare, lezioni a distanza potrebbero essere necessarie.Modalità Frequenza
La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. La parte scritta verterà principalmente sulla parte 2 e 3. scheda docente materiale didattico
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.
Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.
Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).
Mutuazione: 20410609 AM300 - ANALISI MATEMATICA 5 in Matematica LM-40 CHIERCHIA LUIGI, HAUS EMANUELE
Programma
Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^nDefinizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.
Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.
Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).
Testi Adottati
Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.Bibliografia Di Riferimento
Lezioni di analisi matematica 2 di Luigi Chierchia. Aracne 1997 EAN: 9788879991780. ISBN: 8879991787. Pagine: 287Modalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verra spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche . In particolare, lezioni a distanza potrebbero essere necessarie.Modalità Frequenza
La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. La parte scritta verterà principalmente sulla parte 2 e 3.Mutuazione: 20410609 AM300 - ANALISI MATEMATICA 5 in Matematica LM-40 CHIERCHIA LUIGI, HAUS EMANUELE