Acquisire le basi matematiche della teoria della meccanica statistica per sistemi di particelle o spin interagenti, incluso lo studio delle misure di Gibbs e dei fenomeni di transizione di fase; imparare ad applicarle ad alcuni modelli concreti, quali il modello di Ising in dimensione d=1,2 e nell'approssimazione di campo medio.
Curriculum
scheda docente materiale didattico
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.
IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1 < p < 2. Positività per riflessioni.
- Soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a primi vicini a campo magnetico nullo.
G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.
Programma
INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.
IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1 < p < 2. Positività per riflessioni.
- Soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a primi vicini a campo magnetico nullo.
Testi Adottati
S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.
Modalità Valutazione
Agli studenti è richiesto di risolvere due fogli di esercizi a metà e a fine corso, da consegnare entro l'esame. L'esame consisterà in una tesina orale su unna selezione di argomenti del programma concordati con il docente scheda docente materiale didattico
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.
IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1 < p < 2. Positività per riflessioni.
- Soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a primi vicini a campo magnetico nullo.
G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.
Mutuazione: 20410419 MS410-MECCANICA STATISTICA in Scienze Computazionali LM-40 GIULIANI ALESSANDRO
Programma
INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.
IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1 < p < 2. Positività per riflessioni.
- Soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a primi vicini a campo magnetico nullo.
Testi Adottati
S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.
Modalità Valutazione
Agli studenti è richiesto di risolvere due fogli di esercizi a metà e a fine corso, da consegnare entro l'esame. L'esame consisterà in una tesina orale su unna selezione di argomenti del programma concordati con il docente scheda docente materiale didattico
– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.
IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1 < p < 2. Positività per riflessioni.
- Soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a primi vicini a campo magnetico nullo.
G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.
Programma
INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA E STATI DI GIBBS– Gli obiettivi della meccanica statistica
– Richiami di termodinamica. Funzioni convesse e trasformata di Legendre
– Modelli di meccanica statistica: ensemble canonico, grancanonico e stati di Gibbs.
– Modelli di gas su reticolo e di spin tipo Ising. Esistenza del limite termodinamico per l’energia libera in modelli di spin su reticolo.
– La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdita di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs.
IL MODELLO DI ISING
– Rassegna dei risultati noti sul modello di Ising in una o più dimensioni.
– La soluzione del modello di Ising unidimensionale con la matrice di trasferimento.
– Il modello di Ising in campo medio: soluzione esatta. Transizione di fase e perdita di equivalenza tra ensemble statistici
– Ising con interazioni a lunga portata (potenziali di Kac) nel limite di campo medio. Costruzione di Maxwell.
– Disuguaglianze di Griffiths e FKG. Esistenza delle funzioni di correlazione degli stati con condizioni + e − nel modello di Ising ferromagnetico.
- La rappresentazione geometrica del modello di Ising: contorni di alta e bassa temperatura.
- Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a bassa temperatura: l'argomento di Peierls.
– Assenza di transizione di fase ad alta temperatura e decadimento esponenziale degli effetti di bordo.
– Teorema di Lee-Yang e analiticità della pressione a campo magnetico non nullo.
– Esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising in una dimensione con interazione |x − y|^{−p}, 1 < p < 2. Positività per riflessioni.
- Soluzione esatta del modello di Ising in d=2 a primi vicini a campo magnetico nullo.
Testi Adottati
S. Friedli, Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise, ed. Springer-Verlag, 1999.
Modalità Valutazione
Agli studenti è richiesto di risolvere due fogli di esercizi a metà e a fine corso, da consegnare entro l'esame. L'esame consisterà in una tesina orale su unna selezione di argomenti del programma concordati con il docente