Offrire gli strumenti algebrici ed analitici che permettono il trattamento dello spazio tridimensionale, ed oltre. In particolare, introdurre al calcolo differenziale ed integrale in più variabili, e all’algebra lineare nel suo rapporto col pensiero geometrico. Dalle forme alle formule, e viceversa: introduzione ai problemi inversi ed al pensiero parametrico.
Canali
scheda docente materiale didattico
-ALGEBRA LINEARE DA UN PUNTO DI VISTA GEOMETRICO: VETTORI, PIANI, RETTE, CONDIZIONI PER LE RETTE SGHEMBE, DISTANZE punto-piano, punto-retta.
-CURVE CONICHE E SUPERFICI QUADRICHE, RICONOSCIMENTO, CLASSIFICAZIONE, COSTRUIBILITA'
INDIVIDUAZIONE COME RIGATE, COME SVILUPPABILI, COME SEZIONI PIANE...
-CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE IN DUE E TRE VARIABILI: domini di definizione, continuità, curve di livello.
STUDIO DEGLI ESTREMI E DEI PUNTI CRITICI DI UNA SUPERFICIE DATA DA UNA FUNZIONE, matrice Hessiana, PIANO TANGENTE, derivata direzionale, gradiente. Domini di integrazione semplici, integrazione iterata, integrali come modello di volumi INTEGRALI DOPPI, VOLUMI CONFINATI DA SUPERFICI REGOLARI.
- modelli matematici per il trattamento delle curve: CURVE PARAMETRICHE, TRIEDRO FONDAMENTALE ASSOCIATO AD UNA CURVA.
- SUPERFICI NELLO SPAZIO, FORMULAZIONE PARAMETRICA ED IMPLICITA.
A seconda dell'andamento del corso, attività hands on: costruzione di superfici in carta, oppure corso di coding in Python
ad esempio: Adams, Pagani-Salsa, Marcellini Sbordone, Marsden-Weinstein
Programma
-MODELLI MATEMATICI PER IL TRATTAMENTO QUANTITATIVO DELLO SPAZIO tridimensionale:-ALGEBRA LINEARE DA UN PUNTO DI VISTA GEOMETRICO: VETTORI, PIANI, RETTE, CONDIZIONI PER LE RETTE SGHEMBE, DISTANZE punto-piano, punto-retta.
-CURVE CONICHE E SUPERFICI QUADRICHE, RICONOSCIMENTO, CLASSIFICAZIONE, COSTRUIBILITA'
INDIVIDUAZIONE COME RIGATE, COME SVILUPPABILI, COME SEZIONI PIANE...
-CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE IN DUE E TRE VARIABILI: domini di definizione, continuità, curve di livello.
STUDIO DEGLI ESTREMI E DEI PUNTI CRITICI DI UNA SUPERFICIE DATA DA UNA FUNZIONE, matrice Hessiana, PIANO TANGENTE, derivata direzionale, gradiente. Domini di integrazione semplici, integrazione iterata, integrali come modello di volumi INTEGRALI DOPPI, VOLUMI CONFINATI DA SUPERFICI REGOLARI.
- modelli matematici per il trattamento delle curve: CURVE PARAMETRICHE, TRIEDRO FONDAMENTALE ASSOCIATO AD UNA CURVA.
- SUPERFICI NELLO SPAZIO, FORMULAZIONE PARAMETRICA ED IMPLICITA.
A seconda dell'andamento del corso, attività hands on: costruzione di superfici in carta, oppure corso di coding in Python
Testi Adottati
QUALUNQUE TESTO DI LIVELLO UNIVERSITARIO di calcolo differenziale in piu' variabili, e trattamento algebrico dello spazio.ad esempio: Adams, Pagani-Salsa, Marcellini Sbordone, Marsden-Weinstein
Modalità Erogazione
lezioni frontali ed esercitazioni. di persistenza dell'emergenza Covid19, ci atterremo alle modalità indicate dall'ateneo.Modalità Frequenza
frequenza alle lezioni ed esercitazioni obbligatoria almeno al 75%Modalità Valutazione
prova scritta seguita da colloquio argomentativo. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare si applicheranno le seguenti modalità: colloquio orale sul programma. scheda docente materiale didattico
Prodotto scalare, vettoriale e misto con il loro significato geometrico. Matrici e determinanti.
Equazione parametrica e cartesiana di un piano. Equazione parametrica e cartesiana di una retta nello spazio. Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette. Intersezioni tra rette e piani. Rette incidenti, parallele, sghembe.
Superfici quadriche. Cilindri, coni, ellissoidi, paraboloidi e iperboloidi. Curve di livello e sezioni. Superfici rigate.
Funzioni vettoriali e curve parametriche. Esempi di curve parametriche: rette, coniche, spirali e cicloidi. Versore tangente, normale e binormale ad una curva.
Formule di Frenet. Curvatura e torsione. Curve su superfici. Elica cilindrica.
Funzioni di due variabili. Dominio di definizione. Grafico. Curve di livello e sezioni. Limiti e continuità per funzioni di due variabili.
Derivate parziali. Piano tangente in un punto alla superficie grafico di una funzione. Derivata direzionale. Differenziabilità.
Gradiente di una funzione di due variabili. Proprietà geometriche. Direzione di massima pendenza. Derivate di ordine superiore.
Studio dei punti critici di una funzione di due variabili. La matrice delle derivate seconde ed il suo determinante Hessiano.
Massimi, minimi e punti di sella.
Visualizzazione di curve e superfici utilizzando il software Mathematica.
Un argomento da sviluppare autonomamente dalla lettura di alcuni testi consigliati.
oppure un testo universitario a scelta, ad esempio:
Bramanti-Pagani-Salsa: "Calcolo infinitesimale e algebra lineare", Seconda edizione, ed. Zanichelli
G.B. Thomas, R.L. Finney “Analisi Matematica”, ed. Zanichelli
Programma
Insiemi di punti nel piano e nello spazio tridimensionale. Spazio vettoriale a due e tre dimensioni. Vettori e versori.Prodotto scalare, vettoriale e misto con il loro significato geometrico. Matrici e determinanti.
Equazione parametrica e cartesiana di un piano. Equazione parametrica e cartesiana di una retta nello spazio. Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette. Intersezioni tra rette e piani. Rette incidenti, parallele, sghembe.
Superfici quadriche. Cilindri, coni, ellissoidi, paraboloidi e iperboloidi. Curve di livello e sezioni. Superfici rigate.
Funzioni vettoriali e curve parametriche. Esempi di curve parametriche: rette, coniche, spirali e cicloidi. Versore tangente, normale e binormale ad una curva.
Formule di Frenet. Curvatura e torsione. Curve su superfici. Elica cilindrica.
Funzioni di due variabili. Dominio di definizione. Grafico. Curve di livello e sezioni. Limiti e continuità per funzioni di due variabili.
Derivate parziali. Piano tangente in un punto alla superficie grafico di una funzione. Derivata direzionale. Differenziabilità.
Gradiente di una funzione di due variabili. Proprietà geometriche. Direzione di massima pendenza. Derivate di ordine superiore.
Studio dei punti critici di una funzione di due variabili. La matrice delle derivate seconde ed il suo determinante Hessiano.
Massimi, minimi e punti di sella.
Visualizzazione di curve e superfici utilizzando il software Mathematica.
Un argomento da sviluppare autonomamente dalla lettura di alcuni testi consigliati.
Testi Adottati
R. Adams “Calcolo Differenziale 2, (funzioni di più variabili)”, quarta edizione, ed. casa editrice Ambrosianaoppure un testo universitario a scelta, ad esempio:
Bramanti-Pagani-Salsa: "Calcolo infinitesimale e algebra lineare", Seconda edizione, ed. Zanichelli
G.B. Thomas, R.L. Finney “Analisi Matematica”, ed. Zanichelli
Bibliografia Di Riferimento
Courant, Robbins, “Che cos’è la matematica”, Bollati Boringhieri, 2000 “Le curve celebri” (almeno l’introduzione e un paragrafo tratto dai capitoli 1-6) di Luciano Cresci “Flussi e riflussi” di Lucio Russo Alcune voci matematiche nell’Enciclopedia Treccani L’America dimenticata. I rapporti tra le civiltà e un errore di Tolomeo, di Lucio Russo “La strada che porta alla realtà” di Roger PenroseModalità Erogazione
Il corso si compone di lezioni frontali ed esercitazioni, anche con l’uso del computer. Nelle ore dedicate alle esercitazioni il docente propone alcuni esercizi e problemi, gli studenti hanno del tempo per risolverli da soli, poi si passa ad una discussione in aula, e infine, se necessario, il docente espone la soluzione per esteso alla lavagna. Alcune lezioni prevedono l'uso del computer da parte degli studenti per la visualizzazione di curve e superfici. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti.Modalità Frequenza
La frequenza del corso è obbligatoria per il 75% delle ore.Modalità Valutazione
La valutazione prevede una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta consiste di esercizi la cui risoluzione è finalizzata a verificare il livello di comprensione effettiva dei concetti e la capacità degli studenti di applicarli in autonomia. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare, si applicheranno le seguenti modalità: colloquio orale sul programma.