Introduce the basic notions and techniques of abstract algebra through the study of the first properties of fundamental algebraic structures: groups, rings and fields.
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Associativita' e Commutativita' generalizzate. Potenze di elementi. Il sottosemigruppo/sottomonoide/sottogruppo generato da un sottoinsieme: unicita' ed esistenza. Il teorema di Cayley per monoidi e gruppi: ogni monoide (risp. gruppo) e' isomorfo ad un sottomonoide (risp. sottogruppo) del monoide (risp. gruppo) delle trasformazioni (risp. delle permutazioni) su se stesso.
Le classi laterali destre e sinistre rispetto un sottogruppo. Proprieta': le classi laterali destre e sinistre formano una partizione del gruppo; la cardinalita' di ogni classe laterale e' uguale alla cardinalita' del sottogruppo; esiste una biezione tra classi laterali sinistre e destre. Corollari: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo finito (teorema di Lagrange), l'ordine di un elemento divide l'ordine di un gruppo finito. Esempi: le classi laterali sinistre o destre di nℤ<ℤ coincidono con le classi di resto modulo n; le classi laterali destre e sinistre di S_{n−1}
Teorema: esiste una corrispondenza biunivoca tra congruenze e sottogruppi normali, che preserva i rispetti quozienti. Il gruppo diedrale finito D_n: definizione algebrica, presentazione come gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con n lati, presentazione come sottogruppo di S_n, presentazione come gruppo generato da due involuzioni. Esercizio: la classificazione dei sottogruppi di D_n, dei sottogruppi normali e dei rispettivi quozienti.
Omomorfismi tra gruppi: definizione ed esempi. Monomorfismi e inclusioni, Epimorfismi e quozienti, Isomorfismi. Il nucleo e l'immagine di un morfismo. Lemma: le fibre non vuote di un morfismo sono le classi laterali del nucleo. La proprieta' universale delle inclusioni e dei quozienti. Il teorema di fattorizzazione (o primo teorema di isomorfismo): ogni morfismo si fattorizza in maniera unica come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'inclusione. Casi particolari: un monomorfismo e' la composizione di un isomorfismo con un'inclusione, un epimorfismo e' la composizione di un quoziente con un isomorfismo.
Il teorema dei due sottogruppi (o secondo teorema di isomorfismo). Il teorema di corrispondenza (o terzo teorema di isomorfismo): dato un epimorfismo f, le immagini dirette e inverse danno una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi del codominio e i sottogruppi del dominio che contengono il nucleo; tale corrispondenza preserva le inclusioni e gli indici, e anche la normalita' e i quozienti. Caso particolare: i sottogruppi di un quoziente.
La realizzazione del gruppo simmetrico come operatori/matrici di trasposizione. La funzione segno sgn:S_n→{±1} come il determinante delle matrici di permutazione. Caratterizzazione equivalenti in termini di decomposizione in cicli, di decomposizione come prodotto di trasposizioni, di parita' delle inversioni. Teorema: la funzione segno e' l'unico omomorfismo suriettivo da S_n a {±1}. Il gruppo alterno A_n. Lemma: A_n e' l'unico sottogruppo (normale) di indice 2 di S_n. Teorema (senza dimostrazione): A_n e' un gruppo semplice (per n≠4), cioe' non ha sottogruppi normali non banali. Corollario: l'unico sottogruppo normale di S_n (per n≠4) e' A_n.
Il monoide libero su insieme: definizione e proprieta' universale. Il gruppo libero su insieme : definizione (via la riduzione a forme ridotte) e proprieta' universale. Il gruppo ⟨X|R⟩ con generatori X e relazioni R . Corollario: ogni gruppo ammette una presentazione come ⟨X|R⟩.
La proprieta' universale di ⟨X|R⟩. Gruppi finitamente generati e gruppi finitamente presentati: qualche esempio. Il prodotto diretto di una collezione di gruppi: definizione e proprieta' universale. Prodotto diretto interno di due sottogruppi. Il prodotto libero di una collezione di gruppi: definizione e proprieta' universale.
Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. La mappa di coniugio. Il sottogruppodegli automorfismi interni e il quoziente degli automorfismi esterni. Esempio: il gruppo degli automorfismi di ℤ_n e sua struttura. Il prodotto semidiretto. Prodotto semidiretto interno di due sottogruppi.
Esercizi su sottogruppi caratteristici vs normali, e il gruppo S_4.
Estensioni di gruppi ed estensioni che spezzano. Proposizione: un'estensione spezza se e solo se e' il prodotto semidiretto. Il prodotto diretto debole di una collezione di gruppi: definizione e relazione col prodotto diretto e il prodotto libero. La somma diretta di una collezione di gruppi abeliani e la sua proprieta' universale.
Il gruppo abeliano libero su un insieme. La base canonica di un gruppo abeliano libero. La proprieta' universale dei gruppi abeliani liberi. Proposizione: un gruppo abeliano ammette una base se e solo se e' un gruppo abeliano libero. Teorema: due gruppi abeliani liberi sono isomorfi se e solo se hanno basi della stessa cardinalita' (dimostrazione solo nel caso di cardinalita' finita). Corollario: il rango di un gruppo abeliano libero e' ben definito; due gruppi abeliani liberi sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso rango; due basi di un gruppo abeliano libero hanno la stessa cardinalita'. Teorema di struttura dei sottogruppi di un gruppo abeliano libero di rango finito tramite fattori invarianti.
Teorema di classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati : ogni gruppo abeliano finitamente generato e' somma diretta finita di gruppi ciclici. Il numero di copie dei gruppi ciclici infiniti e' una invariante del gruppo, detto rango. I fattori cicli finiti si possono organizzare in due maniere uniche tramite i fattori invarianti o i divisori elementari. Alcuni sottogruppi notevoli di un gruppo abeliano: il sottogruppo dei multipli di m, il sottogruppo di torsione, il sottogruppo di m-torsione, il p-sottogruppo. Esempi ed esercizi.
Anelli: definizione e prime proprieta' (distributivita' generalizzata, teorema binomiale per elementi che commutano). Divisori dello zero ed elementi invertibili. Classi speciali di anelli: domini/domini integrali, corpi/campi. Esempi: anelli numerici, anello delle classi di resto modulo n, anello degli endormorfismi di uno spazio vettoriale ed anello delle matrici di ordine n, anello degli endormorfismi di un gruppo abeliano, il corpo dei quaternioni.
Altri esempi di anelli: l'anello gruppale associato ad un gruppo su un anello, l'anello booleano sull'insieme delle parti di un insieme, l'anello delle funzioni da un insieme ad un anello con l'addizione e la moltiplicazione componente per componente, l'anello opposto di un anello, l'anello dei polinomi in piu' variabili e l'anello delle serie di potenze in piu' variabili. Gli omomorfismi di anelli: definizione ed esempi. La caratteristica di un anello: definizione e caratterizzazione nel caso di anelli con identita'.
Sottoanelli e ideali destri, sinistri, bilateri: definizione ed esempi. Ideali generati da un sottoinsieme: ideali finitamente generati e principali. Il quoziente di un anello rispetto ad un ideale e sua proprieta' universale. Il teorema di fattorizzazione : ogni morfismo si fattorizza in maniera unica come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'inclusione. Corollario (primo teorema di isomorfismo): dato un omomorfismo di anelli f:R→S si ha un isomorfismo R/ker(f)≅Im(f). Il teorema dell'ideale e del sottoanello (o secondo teorema di isomorfismo): dati un sottoanello S e un ideale I di R, esiste un isomorfismo canonico S/(S∩I)≅(S+I)/I. Il teorema di corrispondenza : dato un epimorfismo f:R→S, le immagini dirette e inverse danno una corrispondenza biunivoca tra i sottoanelli/ideali di S e i sottoanelli/ideali di R che contengono ker(f); tale corrispondenza preserva le inclusioni e i quozienti. Corollario (terzo teorema di isomorfismo): dati due ideali I e J di R con I⊆J, vale che R/J≅(R/I)/(J/I). Operazioni su sottoinsiemi ed ideali di una anello: somma e prodotto.
Ideali primi e ideali massimali. Proposizione: un ideale I di un anello R con 1≠0 tale che R/I e' un dominio (risp. un corpo) diverso da 0 e' primo (risp. massimale); vale il viceversa se R e' commutativo (ma e' falso in generale nel caso non commutativo). Proposizione: in un anello R tale che R^2=R ogni ideale massimale e' primo. Digressione: il lemma di Zorn.
Proposizione: in un anello con identita' ogni ideale e' contenuto in un ideale massimale. Il campo dei quozienti Q(D) di un dominio integrale D.
Il monomorfismo unitario canonico i:D↪Q(D) e la sua proprieta' universale. Teoria della divisibilita' in anelli commutativi con identita': la relazione di divisibilita' e la relazione di essere associati, loro caratterizzazione in termini degli ideali principali associati. Elementi irriducibili e primi: loro caratterizzazione in termini degli ideali principali associati.
Un elemento irriducibile non ha fattori propri e vale il viceversa in un dominio integrale. In un dominio integrale, ogni elemento primo e' irriducibile. Domini a fattorizzazione unica (=UFD): definizione. Proprieta' di un UFD: fattorizzazione di fattori, la condizione della catena discendente di fattori (o equivalentemente della catena ascendente di ideali principali), ogni elemento irriducibile e' primo, due elementi ammettono un massimo comun divisore e un minimo comune multiplo. Teorema 1: se un dominio verifica la condizione ascendente sugli ideali principali allora e' un dominio a fattorizzazione (non necessariamente unica).
Teorema 2: dato un dominio D, in D esistono massimo comun divisori ⇒ in D ogni elemento irriducibile e' primo ⇒ in D la fattorizzazione in irriducibili (quando esiste) e' unica. Corollario (criterio per un UFD): un dominio D e' UFD se e solo se D soddisfa la proprieta' della catena ascendente di ideali principali e in D esistono massimi comun divisori oppure in D ogni elemento irriducibile e' primo. Classi notevoli di domini: domini a ideali principali (=PID) e domini euclidei . Teorema: R e' dominio euclideo ⇒ R e' PID ⇒ R e' UFD. Anelli di polinomi in n variabili a coefficienti in un anello commutativo con unita'. Anello di polinomi in una variabile: grado, coefficiente direttore, e proprieta' moltiplicativa del grado. Proposizione: se R e' un dominio allora R[x1,…,xn] e' un dominio tale che le sue unita' sono le unita' di R. L'algoritmo di divisione di Euclide in R[x]. Corollario: se K e' un campo allora K[x] e' un anello euclideo.
Teorema: se D e' un UFD allora D[x] e' un UFD. Esercizi in preparazione al secondo esonero: l'anello degli interi Gaussiani.
(2) J. Milne: Group Theory. Note disponibili nella pagina web di James Milne.
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Semigruppi, Monoidi e Gruppi: definizioni ed esempi. Proposizione: unicita' dell'elemento neutro e dell'inverso; proprieta' dell'inverso. Il gruppo degli elementi invertibili di un monoide. Concetti di base: commutativita' (o abelianita'); ordine; sottosemigruppi/sottomonoidi/sottogruppi; isomorfismi.Associativita' e Commutativita' generalizzate. Potenze di elementi. Il sottosemigruppo/sottomonoide/sottogruppo generato da un sottoinsieme: unicita' ed esistenza. Il teorema di Cayley per monoidi e gruppi: ogni monoide (risp. gruppo) e' isomorfo ad un sottomonoide (risp. sottogruppo) del monoide (risp. gruppo) delle trasformazioni (risp. delle permutazioni) su se stesso.
Le classi laterali destre e sinistre rispetto un sottogruppo. Proprieta': le classi laterali destre e sinistre formano una partizione del gruppo; la cardinalita' di ogni classe laterale e' uguale alla cardinalita' del sottogruppo; esiste una biezione tra classi laterali sinistre e destre. Corollari: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo finito (teorema di Lagrange), l'ordine di un elemento divide l'ordine di un gruppo finito. Esempi: le classi laterali sinistre o destre di nℤ<ℤ coincidono con le classi di resto modulo n; le classi laterali destre e sinistre di S_{n−1}
Teorema: esiste una corrispondenza biunivoca tra congruenze e sottogruppi normali, che preserva i rispetti quozienti. Il gruppo diedrale finito D_n: definizione algebrica, presentazione come gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con n lati, presentazione come sottogruppo di S_n, presentazione come gruppo generato da due involuzioni. Esercizio: la classificazione dei sottogruppi di D_n, dei sottogruppi normali e dei rispettivi quozienti.
Omomorfismi tra gruppi: definizione ed esempi. Monomorfismi e inclusioni, Epimorfismi e quozienti, Isomorfismi. Il nucleo e l'immagine di un morfismo. Lemma: le fibre non vuote di un morfismo sono le classi laterali del nucleo. La proprieta' universale delle inclusioni e dei quozienti. Il teorema di fattorizzazione (o primo teorema di isomorfismo): ogni morfismo si fattorizza in maniera unica come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'inclusione. Casi particolari: un monomorfismo e' la composizione di un isomorfismo con un'inclusione, un epimorfismo e' la composizione di un quoziente con un isomorfismo.
Il teorema dei due sottogruppi (o secondo teorema di isomorfismo). Il teorema di corrispondenza (o terzo teorema di isomorfismo): dato un epimorfismo f, le immagini dirette e inverse danno una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi del codominio e i sottogruppi del dominio che contengono il nucleo; tale corrispondenza preserva le inclusioni e gli indici, e anche la normalita' e i quozienti. Caso particolare: i sottogruppi di un quoziente.
La realizzazione del gruppo simmetrico come operatori/matrici di trasposizione. La funzione segno sgn:S_n→{±1} come il determinante delle matrici di permutazione. Caratterizzazione equivalenti in termini di decomposizione in cicli, di decomposizione come prodotto di trasposizioni, di parita' delle inversioni. Teorema: la funzione segno e' l'unico omomorfismo suriettivo da S_n a {±1}. Il gruppo alterno A_n. Lemma: A_n e' l'unico sottogruppo (normale) di indice 2 di S_n. Teorema (senza dimostrazione): A_n e' un gruppo semplice (per n≠4), cioe' non ha sottogruppi normali non banali. Corollario: l'unico sottogruppo normale di S_n (per n≠4) e' A_n.
Il monoide libero su insieme: definizione e proprieta' universale. Il gruppo libero su insieme : definizione (via la riduzione a forme ridotte) e proprieta' universale. Il gruppo ⟨X|R⟩ con generatori X e relazioni R . Corollario: ogni gruppo ammette una presentazione come ⟨X|R⟩.
La proprieta' universale di ⟨X|R⟩. Gruppi finitamente generati e gruppi finitamente presentati: qualche esempio. Il prodotto diretto di una collezione di gruppi: definizione e proprieta' universale. Prodotto diretto interno di due sottogruppi. Il prodotto libero di una collezione di gruppi: definizione e proprieta' universale.
Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. La mappa di coniugio. Il sottogruppodegli automorfismi interni e il quoziente degli automorfismi esterni. Esempio: il gruppo degli automorfismi di ℤ_n e sua struttura. Il prodotto semidiretto. Prodotto semidiretto interno di due sottogruppi.
Esercizi su sottogruppi caratteristici vs normali, e il gruppo S_4.
Estensioni di gruppi ed estensioni che spezzano. Proposizione: un'estensione spezza se e solo se e' il prodotto semidiretto. Il prodotto diretto debole di una collezione di gruppi: definizione e relazione col prodotto diretto e il prodotto libero. La somma diretta di una collezione di gruppi abeliani e la sua proprieta' universale.
Il gruppo abeliano libero su un insieme. La base canonica di un gruppo abeliano libero. La proprieta' universale dei gruppi abeliani liberi. Proposizione: un gruppo abeliano ammette una base se e solo se e' un gruppo abeliano libero. Teorema: due gruppi abeliani liberi sono isomorfi se e solo se hanno basi della stessa cardinalita' (dimostrazione solo nel caso di cardinalita' finita). Corollario: il rango di un gruppo abeliano libero e' ben definito; due gruppi abeliani liberi sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso rango; due basi di un gruppo abeliano libero hanno la stessa cardinalita'. Teorema di struttura dei sottogruppi di un gruppo abeliano libero di rango finito tramite fattori invarianti.
Teorema di classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati : ogni gruppo abeliano finitamente generato e' somma diretta finita di gruppi ciclici. Il numero di copie dei gruppi ciclici infiniti e' una invariante del gruppo, detto rango. I fattori cicli finiti si possono organizzare in due maniere uniche tramite i fattori invarianti o i divisori elementari. Alcuni sottogruppi notevoli di un gruppo abeliano: il sottogruppo dei multipli di m, il sottogruppo di torsione, il sottogruppo di m-torsione, il p-sottogruppo. Esempi ed esercizi.
Anelli: definizione e prime proprieta' (distributivita' generalizzata, teorema binomiale per elementi che commutano). Divisori dello zero ed elementi invertibili. Classi speciali di anelli: domini/domini integrali, corpi/campi. Esempi: anelli numerici, anello delle classi di resto modulo n, anello degli endormorfismi di uno spazio vettoriale ed anello delle matrici di ordine n, anello degli endormorfismi di un gruppo abeliano, il corpo dei quaternioni.
Altri esempi di anelli: l'anello gruppale associato ad un gruppo su un anello, l'anello booleano sull'insieme delle parti di un insieme, l'anello delle funzioni da un insieme ad un anello con l'addizione e la moltiplicazione componente per componente, l'anello opposto di un anello, l'anello dei polinomi in piu' variabili e l'anello delle serie di potenze in piu' variabili. Gli omomorfismi di anelli: definizione ed esempi. La caratteristica di un anello: definizione e caratterizzazione nel caso di anelli con identita'.
Sottoanelli e ideali destri, sinistri, bilateri: definizione ed esempi. Ideali generati da un sottoinsieme: ideali finitamente generati e principali. Il quoziente di un anello rispetto ad un ideale e sua proprieta' universale. Il teorema di fattorizzazione : ogni morfismo si fattorizza in maniera unica come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'inclusione. Corollario (primo teorema di isomorfismo): dato un omomorfismo di anelli f:R→S si ha un isomorfismo R/ker(f)≅Im(f). Il teorema dell'ideale e del sottoanello (o secondo teorema di isomorfismo): dati un sottoanello S e un ideale I di R, esiste un isomorfismo canonico S/(S∩I)≅(S+I)/I. Il teorema di corrispondenza : dato un epimorfismo f:R→S, le immagini dirette e inverse danno una corrispondenza biunivoca tra i sottoanelli/ideali di S e i sottoanelli/ideali di R che contengono ker(f); tale corrispondenza preserva le inclusioni e i quozienti. Corollario (terzo teorema di isomorfismo): dati due ideali I e J di R con I⊆J, vale che R/J≅(R/I)/(J/I). Operazioni su sottoinsiemi ed ideali di una anello: somma e prodotto.
Ideali primi e ideali massimali. Proposizione: un ideale I di un anello R con 1≠0 tale che R/I e' un dominio (risp. un corpo) diverso da 0 e' primo (risp. massimale); vale il viceversa se R e' commutativo (ma e' falso in generale nel caso non commutativo). Proposizione: in un anello R tale che R^2=R ogni ideale massimale e' primo. Digressione: il lemma di Zorn.
Proposizione: in un anello con identita' ogni ideale e' contenuto in un ideale massimale. Il campo dei quozienti Q(D) di un dominio integrale D.
Il monomorfismo unitario canonico i:D↪Q(D) e la sua proprieta' universale. Teoria della divisibilita' in anelli commutativi con identita': la relazione di divisibilita' e la relazione di essere associati, loro caratterizzazione in termini degli ideali principali associati. Elementi irriducibili e primi: loro caratterizzazione in termini degli ideali principali associati.
Un elemento irriducibile non ha fattori propri e vale il viceversa in un dominio integrale. In un dominio integrale, ogni elemento primo e' irriducibile. Domini a fattorizzazione unica (=UFD): definizione. Proprieta' di un UFD: fattorizzazione di fattori, la condizione della catena discendente di fattori (o equivalentemente della catena ascendente di ideali principali), ogni elemento irriducibile e' primo, due elementi ammettono un massimo comun divisore e un minimo comune multiplo. Teorema 1: se un dominio verifica la condizione ascendente sugli ideali principali allora e' un dominio a fattorizzazione (non necessariamente unica).
Teorema 2: dato un dominio D, in D esistono massimo comun divisori ⇒ in D ogni elemento irriducibile e' primo ⇒ in D la fattorizzazione in irriducibili (quando esiste) e' unica. Corollario (criterio per un UFD): un dominio D e' UFD se e solo se D soddisfa la proprieta' della catena ascendente di ideali principali e in D esistono massimi comun divisori oppure in D ogni elemento irriducibile e' primo. Classi notevoli di domini: domini a ideali principali (=PID) e domini euclidei . Teorema: R e' dominio euclideo ⇒ R e' PID ⇒ R e' UFD. Anelli di polinomi in n variabili a coefficienti in un anello commutativo con unita'. Anello di polinomi in una variabile: grado, coefficiente direttore, e proprieta' moltiplicativa del grado. Proposizione: se R e' un dominio allora R[x1,…,xn] e' un dominio tale che le sue unita' sono le unita' di R. L'algoritmo di divisione di Euclide in R[x]. Corollario: se K e' un campo allora K[x] e' un anello euclideo.
Teorema: se D e' un UFD allora D[x] e' un UFD. Esercizi in preparazione al secondo esonero: l'anello degli interi Gaussiani.
Core Documentation
(1) Hungerford: Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.(2) J. Milne: Group Theory. Note disponibili nella pagina web di James Milne.
Reference Bibliography
-- N. Jacobson: Basic algebra. I. W. H. Freeman and Co., San Francisco, Calif., 1974 -- A. W. Knapp: Basic algebra. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. -- W. Adkins, S. H. Weintraub: Algebra. An approach via module theory. Graduate Texts in Mathematics, 136. Springer-Verlag, New York, 1992. -- I. N. Herstein: Algebra. Editori Riuniti, 2003. -- M. Artin: Algebra. Bollati Boringhieri. -- S. Lang: Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.Type of delivery of the course
Lectures and Exercise sessions.Type of evaluation
Written and oral exam.